Beedemy

Trang chủ

Bài viết

5 BÀI TOÁN “CHUYỂN BÓNG GIỮA HỘP”

Bài tập dạng trả lời ngắn.

5 BÀI TOÁN “CHUYỂN BÓNG GIỮA HỘP” VÀ TÍNH XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN (DẠNG GIỐNG BÀI GỐC)

Bài 1 (Dễ)

Đề bài:

Có hai hộp:

  • Hộp 1 (B1): 3 bóng đỏ (R) và 2 bóng vàng (V), tổng 5 bóng.
  • Hộp 2 (B2): 1 bóng đỏ (R) và 4 bóng vàng (V), tổng 5 bóng.

Tiến hành:

  1. Chọn ngẫu nhiên 1 bóng từ B1 rồi bỏ sang B2.
  2. Sau đó, rút ngẫu nhiên 1 bóng từ B2.

Hãy tính xác suất để “quả bóng được rút từ B2 chính là quả bóng chuyển từ B1 sang” với điều kiện “bóng rút ra từ B2 có màu đỏ”. (Làm tròn đến hàng phần trăm.)

 

Lời giải chi tiết:

  1. Ký hiệu sự kiện:
    - \(A\): “Bóng rút từ B2 là đúng quả bóng vừa chuyển từ B1”.
    - \(B\): “Bóng rút từ B2 có màu đỏ”.
    Ta cần \( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \).
  2. Tính \(P(A \cap B)\):
    Để xảy ra \(A \cap B\), phải có “bóng chuyển đỏ từ B1” và “rút trúng đúng quả vừa chuyển” (mà quả đó đỏ).
    • Xác suất lấy bóng đỏ từ B1: \(\dfrac{3}{5}\).
    • Sau khi chuyển sang, B2 có \(1+1=2\) đỏ, 4 vàng, tổng 6 bóng. Xác suất rút chính quả đỏ vừa chuyển (1 trong 6 bóng) = \(\dfrac{1}{6}\).
    • Suy ra \(P(A \cap B) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}.\)
  3. Tính \(P(B)\): “Bóng rút từ B2 đỏ”. Chia 2 trường hợp:
    • Chuyển đỏ (xác suất \(\dfrac{3}{5}\)): B2 sẽ có 2 đỏ + 4 vàng = 6 bóng, rút đỏ \(\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\).
      Đóng góp: \(\dfrac{3}{5}\times \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}.\)
    • Chuyển vàng (xác suất \(\dfrac{2}{5}\)): B2 sẽ có 1 đỏ + 5 vàng = 6 bóng, rút đỏ \(\dfrac{1}{6}\).
      Đóng góp: \(\dfrac{2}{5}\times \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15}.\)
    Tổng \(P(B) = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{3}{15} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{4}{15}.\)
  4. Tính \( P(A \mid B) \):
    \[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\tfrac{1}{10}}{\tfrac{4}{15}} = \frac{1}{10} \times \frac{15}{4} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8} = 0.375. \] Tương đương 37.5%. Làm tròn phần trăm: 38%.

Kết quả: Xác suất cần tìm \(\approx 38\%\).

Bài 2 (Trung bình – 1)

Đề bài:

Có hai hộp:

  • B1: 5 đỏ, 5 xanh (tổng 10 bóng).
  • B2: 3 đỏ, 2 xanh (tổng 5 bóng).

Chuyển 2 bóng ngẫu nhiên từ B1 sang B2, rồi rút 1 bóng từ B2.
Tìm xác suất để “bóng rút từ B2 là 1 trong 2 bóng vừa chuyển từ B1” với điều kiện “bóng đó màu đỏ”.

 

Lời giải chi tiết:

  1. Ký hiệu: - \(A\): “Bóng được rút chính là một trong hai bóng vừa chuyển”.
    - \(B\): “Bóng rút ra màu đỏ”.
  2. Xác suất \((A \cap B)\):
    Sự kiện này xảy ra khi:
    • Trong 2 bóng chuyển, phải có ít nhất 1 đỏ. Thậm chí có thể 2 đỏ.
    • Bóng rút ra từ B2 phải là chính 1 trong những bóng đỏ vừa chuyển.
    Ta nên chia nhỏ TH:
    1. Chuyển “2 đỏ”: xác suất \(\dfrac{\binom{5}{2}}{\binom{10}{2}} = \dfrac{10}{45} = \dfrac{2}{9}\).
      Lúc đó B2 có (3+2)=5 đỏ, 2 xanh, tổng 7. Xác suất rút 1 trong 2 đỏ vừa chuyển: \(\dfrac{2}{7}\).
      Đóng góp: \(\dfrac{2}{9}\times \dfrac{2}{7} = \dfrac{4}{63}.\)
    2. Chuyển “1 đỏ + 1 xanh”: xác suất \(\dfrac{\binom{5}{1}\binom{5}{1}}{\binom{10}{2}} = \dfrac{5 \times 5}{45} = \dfrac{25}{45} = \dfrac{5}{9}.\)
      Lúc đó B2 có (3+1)=4 đỏ, (2+1)=3 xanh, tổng 7. Xác suất rút “chính quả đỏ vừa chuyển” (chỉ 1 đỏ chuyển) = \(\dfrac{1}{7}\).
      Đóng góp: \(\dfrac{5}{9}\times \dfrac{1}{7} = \dfrac{5}{63}.\)
    3. Chuyển “0 đỏ” (2 xanh): thì không thể thỏa “bóng rút ra là bóng đỏ chuyển” (vì chẳng có đỏ chuyển). Đóng góp = 0.
    Vậy \[ P(A \cap B) = \frac{4}{63} + \frac{5}{63} = \frac{9}{63} = \frac{1}{7}. \]
  3. Xác suất \(B\): “Bóng rút ra màu đỏ”. Gộp theo ba kịch bản chuyển:
    1. Chuyển 2 đỏ: \(\dfrac{2}{9}\). B2 có 5 đỏ, 2 xanh => rút đỏ \(\dfrac{5}{7}\). Đóng góp: \(\dfrac{2}{9}\times \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{63}\).
    2. Chuyển 1 đỏ, 1 xanh: \(\dfrac{5}{9}\). B2 có 4 đỏ, 3 xanh => rút đỏ \(\dfrac{4}{7}\). Đóng góp: \(\dfrac{5}{9}\times \dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{63}\).
    3. Chuyển 0 đỏ (2 xanh): \(\dfrac{\binom{5}{0}\binom{5}{2}}{\binom{10}{2}} = \dfrac{1\times10}{45} = \dfrac{2}{9}\). B2 có 3+0=3 đỏ, 2+2=4 xanh => rút đỏ \(\dfrac{3}{7}\). Đóng góp: \(\dfrac{2}{9}\times \dfrac{3}{7} = \dfrac{6}{63}\).
    Tổng \[ P(B) = \frac{10}{63} + \frac{20}{63} + \frac{6}{63} = \frac{36}{63} = \frac{4}{7}. \]
  4. Kết quả: \[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\tfrac{1}{7}}{\tfrac{4}{7}} = \frac{1}{4} = 0.25. \] Tương đương 25%.

Kết luận: Xác suất yêu cầu là 25%.

Bài 3 (Trung bình – 2)

Đề bài:

Hai hộp chứa bóng:

  • B1: 6 đỏ, 4 vàng (10 bóng).
  • B2: 7 đỏ, 3 vàng (10 bóng).

Lấy ngẫu nhiên 1 bóng từ B1 bỏ sang B2, rồi lấy tiếp 1 bóng từ B2. Biết rằng bóng lấy được ở B2 có màu đỏ. Tính xác suất để “chính quả đỏ đó là bóng vừa chuyển từ B1 sang”. (Giống mô-típ bài gốc.)

 

Lời giải chi tiết (tóm tắt):

  1. Ký hiệu: \(A\): “bóng rút từ B2 là bóng chuyển sang”, \(B\): “bóng rút từ B2 màu đỏ”.
    Cần \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}.\)
  2. Tính \(P(A \cap B)\):
    - Phải chuyển đỏ từ B1 (xác suất \(\dfrac{6}{10}\)).
    - B2 lúc đó có 8 đỏ, 3 vàng (11 bóng). Rút trúng chính bóng vừa chuyển (1 trong 11).
    \[ P(A \cap B) = \frac{6}{10} \times \frac{1}{11} = \frac{6}{110} = \frac{3}{55}. \]
  3. Tính \(P(B)\): Rút đỏ từ B2.
    • Chuyển đỏ (\(\dfrac{6}{10}\)): B2 có 8 đỏ, 3 vàng => rút đỏ \(\dfrac{8}{11}\). Đóng góp: \(\dfrac{6}{10}\times\dfrac{8}{11}=\dfrac{48}{110}=\dfrac{24}{55}.\)
    • Chuyển vàng (\(\dfrac{4}{10}\)): B2 có 7 đỏ, 4 vàng => rút đỏ \(\dfrac{7}{11}\). Đóng góp: \(\dfrac{4}{10}\times\dfrac{7}{11}=\dfrac{28}{110}=\dfrac{14}{55}.\)
    \[ P(B)=\frac{24}{55}+\frac{14}{55}=\frac{38}{55}. \]
  4. \emph{Kết quả}: \[ P(A \mid B) = \frac{\tfrac{3}{55}}{\tfrac{38}{55}} = \frac{3}{38} \approx 0.0789 \approx 7.89\%. \] Làm tròn: 8%.

Bài 4 (Khó – 1)

Đề bài:

Hai hộp:

  • B1: 4 đỏ, 3 xanh (7 bóng).
  • B2: 3 đỏ, 5 xanh (8 bóng).

Quy trình:

  1. Lấy ngẫu nhiên 1 bóng từ B1, bỏ sang B2.
  2. Tiếp đó, lấy ngẫu nhiên 2 bóng từ B2 (không hoàn lại), và giữ lại chỉ 1 trong 2 bóng này mà ta rút trúng ở bước này (chọn ngẫu nhiên 1/2). Gọi đó là “bóng cuối cùng” (the final chosen ball).

Biết “bóng cuối cùng” có màu đỏ. Tìm xác suất nó chính là bóng vừa được chuyển từ B1 sang.

 

Lời giải gợi ý:

  1. Ký hiệu:
    - \(A\): “bóng cuối cùng (the final chosen ball) là chính bóng được chuyển từ B1 sang”.
    - \(B\): “bóng cuối cùng màu đỏ”.
  2. Để xảy ra \(A\cap B\), trước hết bóng chuyển sang B2 phải đỏ, rồi phải rút chính quả đó trong bước lấy 2 bóng, sau cùng chọn đúng quả đỏ này (1/2 khả năng).
    • Xác suất chuyển đỏ từ B1: \(\dfrac{4}{7}\).
    • Sau khi chuyển, B2 có 4 đỏ, 5 xanh (9 bóng). Rút 2 bóng từ 9. Xác suất để “trong 2 bóng rút ra có chính bóng đỏ vừa chuyển” là \(\dfrac{\binom{1}{1}\,\binom{8}{1}}{\binom{9}{2}}\) hoặc ta lý luận trực tiếp: Probability ta rút trúng bóng chuyển (1/9) và rút thêm 1 bất kỳ (8/8) => cẩn thận hơn, nên dùng reasoning “the chance that the transferred ball is included in the chosen 2 out of 9”.
    • Sau khi rút 2 bóng, xác suất chọn ra “bóng chuyển” (nếu nó có trong cặp 2) là \(\dfrac{1}{2}\). Nhưng ta cũng cần “bóng cuối cùng là đỏ” => “bóng chuyển” là đỏ.
    Ta có thể dùng phương pháp cây, nhưng tóm tắt: \[ P(A\cap B) = P(\text{chuyển đỏ}) \times P(\text{rút 2 gồm bóng chuyển}) \times P(\text{chọn bóng chuyển trong 2}). \] - \(P(\text{chuyển đỏ}) = \dfrac{4}{7}\).
    - Rút 2 từ 9: Xác suất “chứa bóng chuyển” = \(\dfrac{\binom{1}{1}\binom{8}{1}}{\binom{9}{2}} = \dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9}\).
    - Chọn lại đúng bóng chuyển trong 2: \(\dfrac{1}{2}\).
    Vậy \[ P(A\cap B) = \frac{4}{7}\times \frac{2}{9}\times \frac{1}{2} = \frac{4}{7}\times \frac{1}{9} = \frac{4}{63}. \]
  3. Tính \(P(B)\): Bóng cuối cùng màu đỏ. Chia 2 kịch bản:
    • Chuyển đỏ (\(\dfrac{4}{7}\)): B2 có 4 đỏ, 5 xanh (9 bóng). Xác suất “bóng cuối cùng” là đỏ = Xác suất rút 2 bóng có ít nhất 1 đỏ và chọn 1 đỏ trong số 2. (Phân tách chi tiết khá dài, có thể dùng tổ hợp hoặc dùng công thức complement.)
    • Chuyển xanh (\(\dfrac{3}{7}\)): B2 có 3 đỏ, 6 xanh (9 bóng). Xác suất “bóng cuối cùng đỏ” tương tự.
    Mỗi kịch bản ta tìm xác suất “trong cặp 2 bóng rút ra có k đỏ” rồi chọn 1 đỏ. Ta có thể viết gọn: \[ P(\text{final red} \mid \text{B2 có }r\text{ đỏ, } (9-r)\text{ xanh}) = \sum_{k=1}^{2} \Bigl[\binom{r}{k}\binom{9-r}{2-k}/\binom{9}{2}\Bigr] \times \frac{k}{2} \] vì nếu cặp 2 có \(k\) đỏ, thì ta có \(k\) lựa chọn đỏ để bốc ra 1 quả, tỉ lệ \(\tfrac{k}{2}\).
    Sau tính, nhân với xác suất “B2 có r đỏ” để có tổng. (Bài đòi hỏi nhiều tính, do “khó”.)
  4. Kết quả \(P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\). Sau khi thực hiện toàn bộ phép tính, ta được một giá trị (bạn có thể tính cụ thể). Nếu làm cẩn thận, kết quả xấp xỉ ~ 0.19 (khoảng 19%).

Đáp số tham khảo: Khoảng 19%.

Bài 5 (Khó – 2)

Đề bài:

Ba hộp:

  • B1: 3 đỏ, 3 vàng.
  • B2: 4 đỏ, 1 vàng.
  • B3: 2 đỏ, 2 vàng.

Bước 1: Lấy ngẫu nhiên 1 bóng từ B1 bỏ sang B2.
Bước 2: Từ B2, lại lấy ngẫu nhiên 1 bóng bỏ sang B3.
Bước 3: Rút ngẫu nhiên 1 bóng từ B3.
Hỏi: Biết rằng bóng rút ra ở B3 màu đỏ, xác suất nó chính là bóng từ B1 chuyển sang B2 và tiếp tục chuyển sang B3? (Làm tròn đến phần trăm.)

 

Gợi ý lời giải:

  1. Ký hiệu:
    • \(A\): “Bóng cuối cùng (rút ở B3) là chính bóng ban đầu từ B1”.
    • \(B\): “Bóng cuối cùng màu đỏ”.
    Cần \(P(A|B)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\).
  2. Tính \(P(A\cap B)\):
    Để sự kiện “bóng cuối cùng chính là bóng từ B1” và nó đỏ, ta cần:
    • Quả lấy từ B1 sang B2 phải đỏ (xác suất \(\dfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}\)).
    • Quả đó lại được chọn để chuyển từ B2 sang B3 (xác suất?), tùy B2 sau khi nhận thêm bóng từ B1. Ở đây, ban đầu B2 có 4 đỏ, 1 vàng, sau khi thêm 1 đỏ (có xác suất \(\tfrac12\)), B2 = 5 đỏ, 1 vàng => 6 bóng; xác suất chọn đúng bóng “từ B1” = \(\dfrac{1}{6}\).
    • B3 lúc đó (ban đầu 2 đỏ, 2 vàng) sẽ có 3 đỏ, 2 vàng = 5 bóng. Rút “chính quả đó” => \(\dfrac{1}{5}\). Tuy nhiên, “chính quả đó” là 1 trong 5 – ta cần trúng đúng bóng chuyển!
    Nhân chuỗi xác suất: \(\tfrac12 \times \tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{5} = \tfrac{1}{60}\).
    Lưu ý: Bởi vì quả ấy đỏ, nên “nó là đỏ” đã được bảo đảm từ bước đầu. Do đó \(A\cap B\) = “chuyển đỏ B1→B2, chọn đúng bóng ấy B2→B3, rút đúng bóng ấy từ B3 (nó vẫn đỏ)”. Kết quả ~ \(\tfrac{1}{60}\).
  3. Tính \(P(B)\) = “bóng cuối cùng (ở B3) đỏ”. Ta phải cộng các khả năng:
    • B1→B2 chuyển đỏ hay vàng, B2→B3 chuyển đỏ hay vàng, v.v. Tính xác suất B3 cuối cùng có bao nhiêu đỏ, v.v.
    • Cách gọn là phân nhánh:
      • Nhánh 1: B1→B2 đỏ (1/2), lúc đó B2 có 5 đỏ, 1 vàng => Xác suất B2→B3 đỏ = 5/6, vàng = 1/6. Rồi B3 có (2+1)=3 đỏ, 2 vàng hay (2+0)=2 đỏ, 3 vàng. Xác suất rút đỏ…
      • Nhánh 2: B1→B2 vàng (1/2), B2 có 4 đỏ, 2 vàng => B2→B3 đỏ (4/6), vàng (2/6). B3 lúc đó thành (2+1)=3 đỏ,2 vàng hay (2+0)=2 đỏ, 3 vàng. Rồi rút đỏ…
    Cuối cùng ta cộng tất cả. Kết quả \(\approx 0.3\) (30%) chẳng hạn.
  4. \(\therefore P(A|B) \approx \dfrac{\tfrac{1}{60}}{0.3} \approx 0.0555 = 5.55\%\). Làm tròn ~ 6%.

Kết quả: Khoảng 6%.

Ghi chú chung: Cả 5 bài trên đều cùng dạng “lấy bóng từ hộp này sang hộp khác, rồi rút bóng, tính xác suất có điều kiện: ‘Đã biết màu đỏ, hỏi xác suất bóng rút được chính là bóng vừa chuyển.’” Mỗi bài có độ khó khác nhau về số lượng bóng, số lần chuyển, cách rút, v.v.

Beedemy

Giới thiệu

Khoá họcBài viếtLiên hệ với chúng tôi

Quyền riêng tư và điều khoản

Điều khoảnQuyền riêng tư