Bài 1 (Dễ)

Xét chuyển động trên đường thẳng với tọa độ (theo thời gian t ≥ 0): \[ x(t) = 2t - 1,\quad (\text{đơn vị: mét}). \] Khi đó, vận tốc của hạt là  \[ v(t) = x'(t). \] Cho 4 phát biểu sau:

 
1. a) Vận tốc của hạt không đổi theo thời gian.
 
2. b) Hạt xuất phát (t=0) ở vị trí -1 m.
 
3. c) Quãng đường hạt đi được trong 5 giây đầu là 10 m.
 
4. d) Tại t=3, hạt đứng yên (v(t)=0).

Lời giải chi tiết Bài 1

 
1. (a)       Tính đạo hàm: \(v(t) = x'(t) = 2\). Đây là một hằng số, nên vận tốc không đổi.       Kết luận: mệnh đề (a) Đúng.  
 
2. (b)       Tại t=0: \(x(0)=2\cdot 0 -1=-1\). Thật sự vị trí là -1 m.       Kết luận: (b) Đúng.  
 
3. (c)       Hạt chuyển động thẳng đều với vận tốc 2 m/s. Trong 5 giây, quãng đường = tốc độ × thời gian = 2×5=10 m.       Kết luận: (c) Đúng.  
 
4. (d)       Vận tốc hạt luôn bằng 2 m/s, không khi nào bằng 0.       Kết luận: (d) Sai.  

Kết quả: (a) Đ, (b) Đ, (c) Đ, (d) S.

---

Bài 2 (Trung bình)

Một hạt chuyển động trên đường thẳng với hàm tọa độ: \[ x(t)=3t - 4\ln(t+1),\quad t\ge0. \] Cho 4 mệnh đề:

 
1. a) Vận tốc tại thời điểm t là \(v(t)=3 - \frac{4}{t+1}\).
 
2. b) Hạt đứng yên tại t=1.
 
3. c) Vận tốc ban đầu của hạt (t=0) là -1 m/s.
 
4. d) Sau 2 giây, hạt đổi chiều chuyển động ít nhất một lần.

Lời giải chi tiết Bài 2

 
1. (a)       Đạo hàm x(t): \(x'(t)=3 - 4\cdot \frac{1}{t+1} = 3 - \frac{4}{t+1}\).       Kết luận: (a) Đúng.  
 
2. (b)       Hạt đứng yên nghĩa là v(t)=0. Tính v(1)=\(3 - \frac{4}{2} =3 -2=1\). Không bằng 0.       Kết luận: (b) Sai.  
 
3. (c)       Vận tốc ban đầu: v(0)=\(3 - \frac{4}{1}=3-4=-1\).       Kết luận: (c) Đúng.  
 
4. (d)       Để biết có “đổi chiều” không, ta xét dấu v(t).       - v(0)=-1 (âm).       - v(2)=\(3 - \frac{4}{3}=3 -1.333...=1.666...\) (dương).       Vậy vận tốc chuyển từ âm sang dương, hạt đã đổi chiều đúng một lần (ở thời điểm nào đó giữa 0 và 2).       Mệnh đề “ít nhất một lần” là đúng, thực chất chính xác là một lần.       Kết luận: (d) Đúng.  

Kết quả: (a) Đ, (b) S, (c) Đ, (d) Đ.

---

Bài 3 (Trung bình)

Tọa độ một chất điểm chuyển động trên trục Ox cho bởi: \[ x(t)= t^2 + \ln(t+1), \quad t \ge 0. \]

 
1. a) Vận tốc hạt tại thời điểm t là \(v(t)=2t + \frac{1}{t+1}\).
 
2. b) Ở t=0, hạt ở vị trí x=1.
 
3. c) Hạt không bao giờ đứng yên (v(t)=0) khi t>0.
 
4. d) Quãng đường hạt đi được trong 2 giây đầu là x(2)-x(0) = 2^2 + ln(3) - [0^2 + ln(1)].

Lời giải chi tiết Bài 3

 
1. (a)       Đạo hàm x'(t)=2t + \(\frac{d}{dt}\ln(t+1)=\frac{1}{t+1}\).       Do đó v(t)=2t + \(\frac{1}{t+1}\).       Kết luận: (a) Đúng.  
 
2. (b)       x(0)=0^2 + ln(1)=0. Không phải 1.       Kết luận: (b) Sai.  
 
3. (c)       Xét v(t)=2t + \(\frac{1}{t+1}\).       - 2t ≥0 với t≥0.       - \(\frac{1}{t+1}>0\).       Suy ra v(t)>0 mọi t≥0. Không có thời điểm hạt đứng yên.       Kết luận: (c) Đúng.  
 
4. (d)       Nếu hạt không đổi chiều, quãng đường từ t=0 đến t=2 chính là x(2)-x(0). Tại t=0: x(0)=0. Tại t=2: x(2)=4 + ln(3).       Do v(t)>0, hạt luôn đi theo 1 chiều, nên quãng đường = độ dời = 4 + ln(3) - 0 = 4 + ln(3).       Phát biểu viết “= 2^2 + ln(3) - [0^2 + ln(1)]” là cách trình bày, giá trị là 4 + ln(3).       Kết luận: (d) Đúng.  

Kết quả: (a) Đ, (b) S, (c) Đ, (d) Đ.

---

Bài 4 (Khó)

Một hạt có phương trình chuyển động: \[ x(t)= t^3 - 6\ln(t+1), \quad t \ge 0. \] Cho 4 mệnh đề:

 
1. a) Vận tốc của hạt: \(v(t)=3t^2 - \frac{6}{t+1}\).
 
2. b) Hạt có vận tốc âm lúc ban đầu, rồi sau đó đổi chiều ít nhất một lần trong khoảng t>0.
 
3. c) Thời điểm hạt đứng yên đầu tiên thỏa \(v'(t)=0\).
 
4. d) Nếu hạt đổi chiều tại đúng 2 thời điểm phân biệt, thì quãng đường đi từ t=0 đến t=4 lớn hơn |x(4)-x(0)|.

Lời giải chi tiết Bài 4

 
1. (a)       Đạo hàm x'(t)= 3t^2 - 6⋅(1/(t+1))= 3t^2 - \(\frac{6}{t+1}\).       Kết luận: (a) Đúng.  
 
2. (b)       Tại t=0: v(0)=3⋅0^2 - 6/(0+1)= -6 (âm).       Để biết có đổi chiều, ta kiểm tra xem vận tốc có về dương ở t lớn hơn. Vì 3t^2 có thể lớn dần, chắc chắn có t nào đó biến v(t) > 0, nên có ít nhất một lần đổi chiều.       Kết luận: (b) Đúng.  
 
3. (c)       Hạt đứng yên khi v(t)=0. “Thời điểm hạt đứng yên đầu tiên” phải giải v(t)=0 chứ không liên quan trực tiếp v'(t)=0. v'(t)=0 để tìm gia tốc = 0, khác với điều kiện v(t)=0.       Phát biểu “thời điểm đứng yên đầu tiên thỏa v'(t)=0” là sai.       Kết luận: (c) Sai.  
 
4. (d)       Khi hạt đổi chiều 2 lần, chắc chắn vận tốc có 2 lần qua 0. Hạt di chuyển “lùi - tiến - lùi” (hoặc ngược lại). Quãng đường là tổng các đoạn, lớn hơn độ dời thuần (x(4)-x(0)).       Kết luận: (d) Đúng.  

Kết quả: (a) Đ, (b) Đ, (c) S, (d) Đ.

---

Bài 5 (Khó)

Một chất điểm chuyển động với hàm vị trí: \[ x(t)= (t+2)^2 \,-\, 4\sqrt{t+2}, \quad t\ge0. \] Cho 4 mệnh đề:

 
1. a) Vận tốc của hạt: \(v(t)= x'(t)= 2(t+2) - \frac{4}{2\sqrt{t+2}}.\)
 
2. b) Hạt đứng yên khi v(t)=0, tức \(2(t+2) - \frac{4}{2\sqrt{t+2}}=0.\)
 
3. c) Có ít nhất một thời điểm t>0 mà vận tốc hạt âm, rồi về sau dương.
 
4. d) Quãng đường hạt đi từ t=0 đến t=5 lớn hơn |x(5)-x(0)| nếu hạt có thời điểm đổi chiều giữa 0 và 5.

Lời giải chi tiết Bài 5

 
1. (a)       Tính x'(t).       - Đạo hàm (t+2)^2 = 2(t+2).       - Đạo hàm -4√(t+2) = -4 ⋅ \(\frac{1}{2\sqrt{t+2}}\)= - \(\frac{4}{2\sqrt{t+2}}\).       Nên v(t)=2(t+2)-\(\frac{4}{2\sqrt{t+2}}\).       Kết luận: (a) Đúng.  
 
2. (b)       Để v(t)=0, ta giải 2(t+2)-\(\frac{4}{2\sqrt{t+2}}\)=0. Phát biểu này chính là dạng phương trình cần thiết.       Kết luận: (b) Đúng.  
 
3. (c)       Xét dấu v(0)=2(2)-\(\frac{4}{2\sqrt{2}}\)=4-\(\frac{4}{2\cdot1.414...}\)=4-\(\frac{4}{2.828...}\)=4-1.414...=2.586... dương.       Ta cần xem v(t) có âm không. Kiểm tra v(1):       t=1 => v(1)=2(3)- \(\frac{4}{2\sqrt{3}}\)=6- \(\frac{4}{3.464...}\)=6-1.155...=4.845... (cũng dương).       Thử v(10): v(10)=2(12)- \(\frac{4}{2\sqrt{12}}\)=24- \(\frac{4}{2\cdot3.464...}\)=24- \(\frac{4}{6.928...}\)=24-0.577...=23.422... (dương).       Dường như v(t) luôn dương, không chắc âm. Cần xét cẩn thận.       Phát biểu “có ít nhất một thời điểm t>0 mà vận tốc hạt âm, rồi dương” có thể sai.       Kiểm tra tổng quát: 2(t+2) > 0, còn \(\frac{4}{2\sqrt{t+2}}\)= \(\frac{2}{\sqrt{t+2}}\).       V(t)=2(t+2)-\(\frac{2}{\sqrt{t+2}}\). Nếu t lớn, v(t) chắc chắn dương. Gần t=0, v(0)=2.586...>0.       Thử đặt v(t)=0 => 2(t+2)= \(\frac{2}{\sqrt{t+2}}\) => (t+2)^{3/2}=1 => t+2=1^(2/3)=1 => t=-1, không thuộc t≥0.       Nên v(t)≠0 với t≥0 => v(t) không âm.       Kết luận: (c) Sai.  
 
4. (d)       Nếu hạt không đổi chiều, quãng đường=|x(5)-x(0)|. Phát biểu “lớn hơn |x(5)-x(0)| nếu đổi chiều” là một tính chất chung: nếu có đổi chiều, quãng đường ≥ độ dời.       Nhưng ta vừa thấy (c) sai, v(t) không đổi dấu => không có đổi chiều => quãng đường=độ dời.       Tuy nhiên, mệnh đề (d) nói “nếu hạt có thời điểm đổi chiều thì quãng đường lớn hơn...” => đây là một chân lý: nếu \emph{thật sự} hạt đổi chiều, quãng đường > |x(biên)-x(biên kia)|.       Về logic, mệnh đề “Nếu A thì B” = true khi A sai (hạt không hề đổi chiều). Hoặc B đúng khi A đúng. Ở đây, A là “hạt có thời điểm đổi chiều”, A sai, nên “nếu A thì B” là đúng về mặt logic (mệnh đề điều kiện rỗng).       Thường trong vật lý, ý câu (d)  “khi hạt có đổi chiều (giả sử), thì quãng đường  > |x(5)- x(0)|.” => Đúng như một nguyên lý.       Kết luận: (d) Đúng (mặc dù trong thực tế hạt không đổi chiều).  

Kết quả: (a) Đ, (b) Đ, (c) S, (d) Đ.