Bài 1 (Dễ)

Một xe xuất phát từ trạng thái đứng yên, chuyển động thẳng nhanh dần đều với gia tốc hằng \(a = 2\,\text{m/s}^2\).   Quãng đường sau \(t\) giây (tính từ lúc bắt đầu chuyển động) là \[ s(t)=\frac12 a\,t^2 = t^2, \] vì \(a=2\). Vận tốc \[ v(t)=a\,t=2t. \] Xét 4 mệnh đề:

1.  
2. a) Vận tốc của xe ở thời điểm \(t=3\,\text{s}\) là \(6\,\text{m/s}\).
3.  
4. b) Quãng đường xe đi được trong 3 giây đầu là \(9\,\text{m}\).
5.  
6. c) Gia tốc của xe là \(2\,\text{m/s}^2\) và không đổi theo thời gian.
7.  
8. d) Trong 3 giây đầu, vận tốc tăng trung bình \(4\,\text{m/s}\) mỗi giây.

Lời giải chi tiết Bài 1:

•  
• (a) Tính \(v(3)=2\cdot 3=6\,\text{m/s}\). Đúng.
•  
• (b) \(s(3)=\tfrac12\cdot2\cdot3^2=9\,\text{m}\). Đúng.
•  
• (c) Gia tốc hằng \(a=2\,\text{m/s}^2\). Quả thật không thay đổi. Đúng.
•  
• (d) “Vận tốc tăng trung bình 4 m/s mỗi giây” tức gia tốc = 4. Nhưng ở đây gia tốc là 2. Phát biểu này sai (hoặc nếu họ nói “tăng trung bình 4 m/s trong 3 giây” => ta kiểm tra: v(3)-v(0) = 6 m/s, chia 3 s ra 2 m/s^2, chứ không phải 4). Sai.

Kết luận Bài 1: (a) Đ, (b) Đ, (c) Đ, (d) S.

---

Bài 2 (Trung bình)

Một vật chuyển động trên đường thẳng. Vận tốc (m/s) mô tả bởi \[ v(t)=v_0 + a\,t,\quad \] với \(v_0=5\,\text{m/s}\), \(a=-1\,\text{m/s}^2\). Thời gian tính từ lúc t=0.   Biết rằng khi vật vừa dừng (v(t)=0), nó không đổi chiều mà đứng yên tạm thời rồi hết thời gian xét.

1.  
2. a) Vật bắt đầu chuyển động với vận tốc \(5\,\text{m/s}\) theo chiều dương.
3.  
4. b) Gia tốc bằng \(-1\,\text{m/s}^2\), tức sau mỗi giây, vật mất 1 m/s vận tốc.
5.  
6. c) Thời điểm vật dừng là \(t=6\,\text{s}\).
7.  
8. d) Quãng đường vật đi được đến lúc dừng là \(\displaystyle \int_0^6 (5 - t)\,dt=15\,\text{m}\).

Lời giải chi tiết Bài 2:

•  
• (a) Đúng. Tại \(t=0\), \(v(0)=5>0\). Bắt đầu với vận tốc 5 m/s.
•  
• (b) Đúng. Gia tốc -1 m/s² nghĩa là vận tốc giảm 1 m/s mỗi giây.
•  
• (c) Giải \(v(t)=0\implies 5 - t=0\implies t=5\) chứ không phải 6. Sai nếu cho t=6.       Vậy (c) sai (vật dừng lúc t=5, không phải 6).
•  
• (d) Tính quãng đường đến lúc dừng (t=5):     \(\int_0^5 (5 - t)\,dt = \bigl[5t - \tfrac12 t^2\bigr]_0^5 = 25 - \tfrac12\cdot25=25-12{,}5=12{,}5\,\text{m}.\)       Nếu họ viết 6 thay vì 5 thì kết quả 15 m sai. (d) Sai.

Kết luận Bài 2: (a) Đ, (b) Đ, (c) S, (d) S.

---

Bài 3 (Trung bình)

Một ôtô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái bắt đầu hãm phanh, gia tốc không đổi, sau 5 giây xe còn 10 m/s.   Giả sử mô hình vận tốc \[ v(t)=20 + a\,t,\quad (t\ge0), \] với \(a\) hằng số âm.  

1.  
2. a) Sau 5 giây, vận tốc là 10 m/s ⇒ ta có \(-2 = a\) (m/s²).
3.  
4. b) Mệnh đề (a) cho rằng gia tốc là \(-2\) m/s².
5.  
6. c) Xe dừng lại (v=0) sau 15 giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh.
7.  
8. d) Quãng đường đi được trong 10 giây đầu hãm phanh là \(\int_0^{10}(20 - 2t)\,dt=100\,\text{m}\).

Lời giải chi tiết Bài 3:

•  
• (a) Thay t=5, v(5)=10 ⇒ 20+a*5=10 ⇒ a*5=-10 ⇒ a=-2. Đúng.
•  
• (b) Đúng, đó là cách nói “gia tốc = -2 m/s²”.
•  
• (c) Vật dừng khi v(t)=0 ⇒ 20 -2t=0 ⇒ t=10 (không phải 15). Sai.
•  
• (d) Tính \(\int_0^{10}(20 - 2t)\,dt = [20t - t^2]_0^{10}= (20*10 - 100)-0=200-100=100 m.\) Đúng.

Kết luận Bài 3: (a) Đ, (b) Đ, (c) S, (d) Đ.

---

Bài 4 (Khó)

Một vật bắt đầu tăng tốc từ vận tốc 5 m/s đến 25 m/s trong 10 giây, với gia tốc không đổi (biến đổi đều). Sau đó giữ nguyên vận tốc 25 m/s thêm 15 giây nữa.   Vận tốc được mô tả (đơn giản hoá):

•  
• Đoạn 1 (0 ≤ t ≤ 10 s): \(v(t)=5 + a\,t\).
•  
• Đoạn 2 (10 < t ≤ 25 s): \(v(t)=25\).

1.  
2. a) Từ dữ kiện 5 m/s → 25 m/s trong 10 s, suy ra gia tốc \(a=2\) m/s².
3.  
4. b) Trong 10 giây đầu, quãng đường là \(\int_0^{10} (5 + 2t)\,dt=300\,\text{m}.\)
5.  
6. c) Trong 10 giây đầu, vật đang chạy nhanh dần, vận tốc trung bình là 15 m/s.
7.  
8. d) Trong 15 giây tiếp theo, vật đi thêm 375 m.

Lời giải chi tiết Bài 4:

•  
• (a) Từ 5 m/s lên 25 m/s, Δv=20, trong 10 s ⇒ a=20/10=2 m/s². Đúng.
•  
• (b) Tích phân:      \[       \int_0^{10}(5+2t)\,dt = \Bigl[5t + t^2\Bigr]_0^{10} = (50 + 100)-0=150\,\text{m}.     \]     Không phải 300 m. Sai.
•  
• (c) Vận tốc đầu 5, cuối 25; trung bình (do chuyển động thẳng biến đổi đều) = \(\tfrac{5+25}{2}=15\). Đúng.
•  
• (d) Khi t>10, xe chạy đều v=25 m/s trong 15 s ⇒ quãng đường = 25×15=375 m. Đúng.

Kết luận Bài 4: (a) Đ, (b) S, (c) Đ, (d) Đ.

---

Bài 5 (Khó)

Một tên lửa đang bay với vận tốc 50 m/s, bắt đầu giai đoạn “tăng tốc đều” trong 8 s, đạt 100 m/s. Rồi tiếp 4 s “hãm” (gia tốc hằng âm) còn 80 m/s.   Mô hình 2 giai đoạn:

•  
• Giai đoạn 1 (0 ≤ t ≤ 8): \(v(t)=50 + a_1\,t\).     \(\Rightarrow v(8)=100\) ⇒ \(a_1=?\)
•  
• Giai đoạn 2 (8 < t ≤ 12): \(v(t)=100 + a_2\,(t-8)\).     \(\Rightarrow v(12)=80\) ⇒ \(a_2=?\)

1.  
2. a) Tính được \(a_1=6.25\) m/s² và \(a_2=-5\) m/s².
3.  
4. b) Trung bình mỗi giây, giai đoạn 1 tăng 6.25 m/s.
5.  
6. c) Quãng đường trong giai đoạn 1: \(\int_0^8 [50 + 6.25t]\,dt= 8\times50 +6.25\times \frac{8^2}{2}=400 + 200=600\,\text{m}.\)
7.  
8. d) Quãng đường trong giai đoạn 2: \(\int_8^{12}[100 -5(t-8)]\,dt= 4 \times 100 -5\int_8^{12}(t-8)\,dt=400 - 5\times \frac{4^2}{2}=400 -40=360\,\text{m}.\)

Lời giải chi tiết Bài 5:

•  
• (a) Giai đoạn 1: 50 + a₁*8=100 ⇒ a₁= \(\frac{50}{8}=6.25\).       Giai đoạn 2: 100 + a₂*(12-8)=80 ⇒ a₂*(4)= -20 ⇒ a₂= -5. Đúng.
•  
• (b) Gia tốc giai đoạn 1 = 6.25 m/s² ⇒ trung bình mỗi giây tăng 6.25 m/s. Đúng.
•  
• (c) Tính \(\int_0^8 [50 +6.25\,t]\,dt= \bigl[50t +3.125\,t^2\bigr]_0^8=50\cdot8 +3.125\cdot64=400 +200=600\,\text{m}.\) Đúng.
•  
• (d) Giai đoạn 2: v(t)=100 -5(t-8). Quãng đường = \(\int_{8}^{12}\bigl[100 -5(t-8)\bigr]dt.\)       Đổi biến \(\tau=t-8\). Khi t=8 ⇒ \(\tau=0\); khi t=12⇒ \(\tau=4\).       \(\int_0^4 [100 -5\tau]\,d\tau= 100\cdot4 -5 \cdot\frac{4^2}{2}=400 -5\times8=400-40=360.\) Đúng.

Kết luận Bài 5: (a) Đ, (b) Đ, (c) Đ, (d) Đ.