Bài 1 (Dễ)

Xét hàm số \[ f(x) = e^{\,x\sqrt{9 - x^2}}, \quad x \in [-3, 3]. \]

1. a) Tập xác định của \(f\) là \([-3,3]\).
2. b) Hàm số là hàm lẻ, tức \(f(-x)=-f(x)\).
3. c) Phương trình \(f'(x)=0\) có nghiệm tại \(x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}\).
4. d) Giá trị lớn nhất trên \([-3,3]\) là \(e^{\frac{9}{2}}\), đạt tại \(x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}\).

Lời giải chi tiết Bài 1

• (a) Đúng
  Lí do: \(\sqrt{9 - x^2}\) xác định khi \(9 - x^2 \ge 0\), tương đương \(-3 \le x \le 3\). Nên tập xác định là \([-3,3]\).
• (b) Sai
  Lí do: Ta kiểm tra \(f(-x) = e^{-x\sqrt{9 - (-x)^2}} = e^{-x\sqrt{9 - x^2}}\). Do \( \sqrt{9 - x^2} \) là số dương hoặc 0 (trên đoạn này), ta thấy \( f(-x) = e^{-x\sqrt{9 - x^2}} \). Thực tế, \( f(-x) = f(x) \) (vì \(-x\sqrt{9-x^2} = x\sqrt{9-x^2}\) nếu và chỉ nếu \(x=0\), nhưng khi xét kĩ hàm mũ, ta nhận ra hàm này đối xứng về gốc, nên là hàm chẵn chứ không phải lẻ. Hàm lẻ cần thỏa \(f(-x)=-f(x)\), nhưng ở đây không đúng.
• (c) Đúng
  Lí do: Đạo hàm \(f'(x)\) bằng 0 khi \[ \sqrt{9 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 9 - 2x^2 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 = \frac{9}{2}. \] Suy ra \( x = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2} \).
• (d) Đúng
  Lí do: Tại \(x = \frac{3\sqrt{2}}{2}\), ta có \[ x\sqrt{9 - x^2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{9 - \frac{9}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{2}. \] Nên \(f\bigl(\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr)=e^{4.5}=e^{\frac{9}{2}}\). Tương tự cho \(-\frac{3\sqrt{2}}{2}\). Đây là giá trị cực đại và lớn nhất trên đoạn.

---

Bài 2 (Trung bình)

Cho hàm số \[ f(x) = e^{\,(x+1)\sqrt{4 - x^2}}, \quad x \in [-2,2]. \]

1. a) Tập xác định là \([-2,2]\); hàm số liên tục trên đoạn này.
2. b) Phương trình \(f'(x)=0\) tương đương \(\frac{4 - 2x^2 - x}{\sqrt{4 - x^2}}=0\).
3. c) Hai nghiệm của \(f'(x)=0\) đều thuộc \([-2,2]\).
4. d) Tại hai biên \(x=-2\) và \(x=2\), \(f(x)\) đều bằng 1.

Lời giải chi tiết Bài 2

• (a) Đúng
  Lí do: \(\sqrt{4 - x^2}\) xác định \(\forall x\in [-2,2]\). Hàm số mũ luôn dương và liên tục, nên hàm số xác định, liên tục trên \([-2,2]\).
• (b) Đúng
  Lí do: Tính \(f'(x)\) bằng quy tắc: \(f'(x) = e^{\,(x+1)\sqrt{4-x^2}} \cdot \frac{d}{dx}\bigl((x+1)\sqrt{4-x^2}\bigr)\). Đặt \(u(x) = (x+1)\sqrt{4 - x^2}\). Đạo hàm của \(u(x)\) cho ra \((4 - 2x^2 - x)/\sqrt{4-x^2}\). Khi \(f'(x)=0\), vì \(e^\dots\neq 0\), suy ra \(4 - 2x^2 - x = 0\). Ta có đúng biểu thức tương đương nêu trên.
• (c) Đúng
  Lí do: Giải \(4 - 2x^2 - x=0\) \(\Longleftrightarrow\) \(2x^2 + x -4=0\). Nghiệm là \(\frac{-1 \pm \sqrt{1+32}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt{33}}{4}\). \(\sqrt{33}\approx 5.744\). \(\frac{-1+5.744}{4} \approx 1.186\); \(\frac{-1-5.744}{4}\approx -1.686\). Cả hai đều trong \([-2,2]\).
• (d) Đúng
  Lí do: Tại \(x=2\) hay \(-2\), \(\sqrt{4 - x^2}=0\). Dẫn đến \((x+1)\cdot 0=0\). Bên trong mũ là 0 nên \(f(\pm2)=e^{0}=1\).

---

Bài 3 (Trung bình)

Cho hàm số \[ f(x) = \bigl(x + \sqrt{4 - x^2}\bigr)\,e^{\,x\sqrt{4 - x^2}}, \quad x \in [-2,2]. \]

1. a) Tập xác định của \(f\) là \([-2,2]\).
2. b) \(f(x)\) có dạng tích: \(\bigl(x + \sqrt{4 - x^2}\bigr)\) và \(e^{\,x\sqrt{4 - x^2}}\).
3. c) Để tìm điểm tới hạn, ta giải \(f'(x)=0\) thông qua đạo hàm của tích và hàm mũ.
4. d) \(f(-2)=-2\) và \(f(2)=2\).

Lời giải chi tiết Bài 3

• (a) Đúng
  Lí do: \(\sqrt{4 - x^2}\) hiện diện, nên điều kiện \(-2 \le x \le 2\). Tập xác định của \(f\) là \([-2,2]\).
• (b) Đúng
  Lí do: Thật rõ ràng: \(f(x)= g(x)\cdot h(x)\) với \[ g(x)= x + \sqrt{4-x^2}, \quad h(x)= e^{\,x\sqrt{4 - x^2}}. \]
• (c) Đúng
  Lí do: Để tìm cực trị, ta đặt \(f'(x)=0\). Nhưng \(f(x)\) là tích \(\bigl[x + \sqrt{4 - x^2}\bigr]\times e^{\,x\sqrt{4 - x^2}}\). Khi lấy đạo hàm, phải dùng quy tắc: \((g\cdot h)'=g'h + gh'\). Ngoài ra \(h'(x)=h(x)\cdot u'(x)\) nếu \(h(x)=e^{u(x)}\). Việc giải \(f'(x)=0\) đòi hỏi phân tích các nhân tử.
• (d) Đúng
  Lí do: Tại \(x=2\): \(2 + \sqrt{4-4}=2+0=2\). Mặt khác, \(e^{\,2\cdot 0} = 1\). Vậy \(f(2)=2\times 1=2\). Tại \(x=-2\): \((-2)+\sqrt{4-4}= -2 +0=-2\). Mặt khác, \(e^{-2\cdot 0}=1\). Vậy \(f(-2)=-2\).

---

Bài 4 (Khó)

Xét hàm số \[ f(x) = e^{\,x^2\,\sqrt{25 - x^2}}, \quad x \in [-5,5]. \]

1. a) Hàm số xác định trên \([-5,5]\); \(\sqrt{25 - x^2}\) bảo đảm biểu thức mũ không âm.
2. b) \(f(x)\) là hàm lẻ vì \(( -x )^2\,\sqrt{25 - ( -x )^2} = - x^2\,\sqrt{25 - x^2}\).
3. c) Phương trình \(f'(x)=0\) có nghiệm tại \(x=0\) và \(x=\pm \frac{5\sqrt{6}}{3}\).
4. d) \(\max f(x)\) trên \([-5,5]\) đạt tại \(x = \pm \frac{5\sqrt{6}}{3}\), \(\min f(x)\) bằng 1 tại \(x=-5,0,5\).

Lời giải chi tiết Bài 4

• (a) Đúng
  Lí do: \(\sqrt{25 - x^2}\) có nghĩa \(-5 \le x \le 5\). Hàm mũ \(e^\dots\) luôn xác định nên toàn hàm xác định trên \([-5,5]\).
• (b) Sai
  Lí do: Kiểm tra \(f(-x)\): \[ f(-x) = e^{\,(-x)^2 \sqrt{25 - (-x)^2}} = e^{\,x^2 \sqrt{25 - x^2}} = f(x). \] Đây là hàm chẵn, không phải hàm lẻ. Hàm lẻ cần \(f(-x)=-f(x)\), nhưng ta có \(f(-x)=f(x)\).
• (c) Đúng
  Lí do: Đạo hàm \(f'(x)\) tách ra thành nhân tử \(x(50-3x^2)\) trong tử số (sau khi rút gọn). Giải \(x(50 - 3x^2)=0\), suy ra \(x=0\) hoặc \(x=\pm\sqrt{\frac{50}{3}}=\pm\frac{5\sqrt{6}}{3}\). Tất cả đều nằm trong \([-5,5]\).
• (d) Đúng
  Lí do: - Tại \(x=0\) hoặc \(x=\pm 5\), ta có \(\sqrt{25 - 0}=5\) hay \(\sqrt{25-25}=0\). Cụ thể, \(f(0)=e^{0\cdot 5}=e^0=1\). Và \(f(\pm5)=e^{25\cdot 0}=1\). - Tại \(x=\pm \frac{5\sqrt{6}}{3}\), giá trị mũ rất lớn, lớn hơn 0 đáng kể. Tính kĩ: \(\left(\frac{5\sqrt{6}}{3}\right)^2 = \frac{150}{9}=\frac{50}{3}\). Tiếp tục \(\sqrt{25 - \frac{50}{3}}=\sqrt{\frac{75-50}{3}}=\sqrt{\frac{25}{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}\). Khi nhân: \(\frac{50}{3}\times \frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{250}{3\sqrt{3}}\). Nên \(f\bigl(\pm \frac{5\sqrt{6}}{3}\bigr)=e^{\frac{250}{3\sqrt{3}}}\). Đây là giá trị cực đại. Vậy \(\max = e^{\frac{250}{3\sqrt{3}}}\), \(\min=1\).

---

Bài 5 (Khó)

Cho hàm số \[ f(x) = e^{\,(x^2 + 2x - 1)\,\sqrt{9 - (x+1)^2}}, \quad x \in [-4,2]. \]

1. a) Tập xác định là \([-4,2]\). Tại hai biên \(-4, 2\) cần kiểm tra cẩn thận.
2. b) \(f(x)\) là hàm chẵn, do \((x+1)\) thay bằng \((-x+1)\) dẫn đến cùng biểu thức.
3. c) Để tính \(f'(x)\), ta đặt \(u(x)=(x^2+2x-1)\sqrt{9-(x+1)^2}\) rồi tìm \(u'(x)\). Ta giải \(u'(x)=0\) để có nghiệm cho \(f'(x)=0\).
4. d) \(f(-4)=f(2)=1\). Thường đây cũng là giá trị nhỏ nhất của \(f\) trên \([-4,2]\).

Lời giải chi tiết Bài 5

• (a) Đúng
  Lí do: Trong biểu thức \(\sqrt{9 - (x+1)^2}\), điều kiện \((x+1)^2 \le 9\iff -3 \le x+1 \le 3\iff -4 \le x \le 2\). Do đó hàm xác định trên \([-4,2]\).
• (b) Sai
  Lí do: Để là hàm chẵn, cần \(f(-x)=f(x)\). Tuy nhiên, thay \(-x\) vào \((x+1)\) không đơn giản cho cùng biểu thức \((-x+1)\). Tổng thể không đối xứng về gốc như vậy. Trên thực tế, biểu thức \((x+1)\) dịch chuyển trục nên hàm khó có tính chẵn/lẻ.
• (c) Đúng
  Lí do: Ta có \(f(x)=e^{u(x)}\). Khi đạo hàm, \[ f'(x)= e^{u(x)} \cdot u'(x). \] Để \(f'(x)=0\), cần \(u'(x)=0\). Ở đây, \[ u(x) = (x^2+2x-1)\sqrt{9-(x+1)^2}. \] Tính \(u'(x)\) bằng quy tắc đạo hàm tích với \(\sqrt{9-(x+1)^2}\). Giải \(u'(x)=0\) sẽ ra các nghiệm trong \([-4,2]\).
• (d) Đúng
  Lí do: - Tại \(x=-4\): \((x+1)=-3\). Khi đó, \(\sqrt{9 - (-3)^2}=0\). Bên trong mũ bằng 0 nên \(f(-4)=e^0=1\). - Tại \(x=2\): \((x+1)=3\). Ta lại có \(\sqrt{9-9}=0\). Khi đó, \(f(2)=e^0=1\). Thông thường, khi \(\sqrt{\dots}=0\) thì giá trị hàm mũ là 1, và đây thường là giá trị nhỏ nhất (vì ở những điểm khác, biểu thức mũ có thể dương hay âm lớn).