Bài tập dạng trả lời ngắn.
5 BÀI TOÁN “KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG (HOẶC ĐƯỜNG & MẶT…) TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ ĐÁP SỐ CUỐI
Bài 1 (Dễ)
Đề bài:
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác với \[ AB = 5,\quad BC = 5,\quad CA = 7. \] Biết các cạnh bên (như \(AA'\)) vuông góc với đáy, độ cao là \(h\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\). (Giả sử thêm rằng lăng trụ đủ dữ liệu để xác định, hoặc kết quả có thể không phụ thuộc \(h\).)
Lời giải chi tiết (dùng toạ độ và công thức khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau):
- Bước 1. Đặt hệ trục Oxyz trong mặt phẳng đáy \(ABC\):
- Chọn \(A\) làm gốc toạ độ: \(A(0,0,0)\).
- Đặt \(\overrightarrow{AB}\) trùng trục Ox, nên \(B(5,0,0)\) (vì \(AB=5\)).
- Điểm \(C\) phải thoả \(AC=7\) và \(BC=5\). Giải hệ cho ra gần đúng: \(C(4.9,\,5,\,0)\) (vì \((4.9)^2 +5^2 \approx 49\) và \(\sqrt{(4.9-5)^2+5^2}\approx5\)).
- Bước 2. Do lăng trụ đứng, cạnh \(AA'\) vuông góc đáy và dài \(h\). Suy ra \[ A'(0,\,0,\,h). \] Đường thẳng \(AA'\) có véc-tơ chỉ phương \(\mathbf{v_1}=(0,0,h)\).
- Đường thẳng \(BC\) có hai điểm \(B(5,0,0)\), \(C(4.9,5,0)\). Véc-tơ chỉ phương \(\mathbf{v_2} = \overrightarrow{BC}=(4.9-5,\,5-0,\,0-0)=(-0.1,\;5,\;0).\)
- Chọn hai điểm mốc: \[ P_1=A(0,0,0)\in AA', \quad P_2=B(5,0,0)\in BC. \] Rồi áp dụng công thức khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: \[ d=\frac{\bigl|\bigl(\overrightarrow{P_1P_2}\bigr)\cdot(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2})\bigr|} {\bigl|\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}\bigr|}. \]
- Tính cụ thể:
- \(\overrightarrow{P_1P_2} = B - A = (5,0,0).\)
- \(\mathbf{v_1}\times \mathbf{v_2} = (0,0,h)\times(-0.1,5,0).\)
Dùng định thức: \[ \mathbf{v_1}\times \mathbf{v_2} = \bigl(0\cdot0 -h\cdot5,\;-(0\cdot0 -h\cdot(-0.1)),\;0\cdot5-0\cdot(-0.1)\bigr) =(-5h,\;-0.1h,\;0). \]
- \(\bigl|\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}\bigr| = \sqrt{(-5h)^2+(-0.1h)^2} = \sqrt{25h^2+0.01h^2} = h\sqrt{25.01}\approx 5.001\,h.\)
- \(\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}) = (5,0,0)\cdot(-5h,\;-0.1h,\;0)= 5\times(-5h)+0+0=-25h.\)
Giá trị tuyệt đối \(\approx 25h.\)
Suy ra \[ d = \frac{25h}{5.001\,h}\approx 5. \] Đáng chú ý, \(\,h\) khử nhau, kết quả \(\approx 5\).
Đáp số: \(\boxed{5.0}\). (Không phụ thuộc \(h\).)
Bài 2 (Trung bình – 1)
Đề bài:
Trong hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \[ AB=3,\;\;BC=4,\;\;AA'=5. \] Gọi \(O\) là trung điểm đoạn \(AD'\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[ OC' \quad \text{và}\quad A'B. \]
Lời giải chi tiết (dùng toạ độ và công thức véc-tơ):
- Đưa vào toạ độ:
- Đặt \(A\) tại gốc: \(A(0,0,0)\).
- Vì \(AB=3\) dọc theo Ox, \(BC=4\) dọc theo Oy, \(AA'=5\) dọc theo Oz, ta có: \[ B(3,0,0), \quad C(3,4,0), \quad D(0,4,0), \] \[ A'(0,0,5), \;B'(3,0,5), \;C'(3,4,5), \;D'(0,4,5). \]
- \(AD'\) là từ \(A(0,0,0)\) đến \(D'(0,4,5)\). Trung điểm \[ O=\Bigl(\tfrac{0+0}{2},\,\tfrac{0+4}{2},\,\tfrac{0+5}{2}\Bigr)=(0,2,2.5). \]
- Xác định hai đường:
- \(OC'\) đi qua \(O(0,2,2.5)\) và \(C'(3,4,5)\). Véc-tơ chỉ phương: \[ \overrightarrow{OC'}=(3-0,\;4-2,\;5-2.5)=(3,2,2.5). \]
- \(A'B\) đi qua \(A'(0,0,5)\) và \(B(3,0,0)\). Véc-tơ chỉ phương: \[ \overrightarrow{A'B}= (3-0,\;0-0,\;0-5)=(3,\,0,\,-5). \]
- Chọn \(P_1=O\) trên \(OC'\) và \(P_2=A'\) trên \(A'B\). Ta tính: \[ \overrightarrow{P_1P_2} = A' - O = (0,0,5)-(0,2,2.5) = (0,\,-2,\,2.5). \]
\(\mathbf{v_1}=\overrightarrow{OC'}=(3,2,2.5)\), \(\mathbf{v_2}=\overrightarrow{A'B}=(3,0,-5).\)
- Phép tính giao nhau:
- \(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2} = (3,\,2,\,2.5)\times (3,\,0,\,-5).\)
Tính determinant: \[ \mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2} = \Bigl|\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 3 & 2 & 2.5\\ 3 & 0 & -5 \end{matrix}\Bigr| = \bigl(2\cdot(-5)-2.5\cdot0\bigr)\,\mathbf{i} - \bigl(3\cdot(-5)-2.5\cdot3\bigr)\,\mathbf{j} + \bigl(3\cdot0-2\cdot3\bigr)\,\mathbf{k}. \] \[ = ( -10 )\,\mathbf{i} - \bigl(-15 -7.5\bigr)\,\mathbf{j} + (0-6)\,\mathbf{k} = (-10,\;22.5,\;-6). \] \[ |\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}| = \sqrt{(-10)^2 + (22.5)^2 + (-6)^2} = \sqrt{100 + 506.25 +36} = \sqrt{642.25} \approx 25.35. \]
- \(\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}) = (0,-2,2.5)\cdot(-10,22.5,-6) =0\cdot(-10) +(-2)\cdot(22.5) +2.5\cdot(-6). \] \[ = -45 +(-15)= -60 \quad\Longrightarrow\quad|\dots|=60. \]
Suy ra \[ d=\frac{60}{25.35}\approx 2.37. \]
Đáp số: \(\boxed{2.4}\) (làm tròn 1 chữ số thập phân).
Bài 3 (Trung bình – 2)
Đề bài:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh 6. Gọi \(O\) là giao hai đường chéo của hình vuông (tức tâm), và giả sử \(SA\perp (ABCD)\) với \(SA=8\). Gọi \(M\) là trung điểm đoạn \(SD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[ BM\quad \text{và}\quad SC. \] (Làm tròn nếu cần.)
Lời giải chi tiết (toạ độ):
- Đặt đáy \(ABCD\) trên Oxy:
- \(A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0)\).
- \(S\) có độ cao 8 trên A, nên \(S(0,0,8)\) (vì \(SA=8\) vuông góc đáy).
- \emph{Điểm M} là trung điểm \(SD\), với \(S(0,0,8)\), \(D(0,6,0)\). Vậy \[ M=\Bigl(\tfrac{0+0}{2},\,\tfrac{0+6}{2},\,\tfrac{8+0}{2}\Bigr) =(0,3,4). \]
Ta có \(B(6,0,0)\), \(C(6,6,0)\).
- \(\overrightarrow{BM} = M - B=(0-6,\;3-0,\;4-0)=(-6,\,3,\,4)\).
\(\overrightarrow{SC} = C - S=(6-0,\;6-0,\;0-8)=(6,\,6,\,-8).\)
- Lấy \(P_1=B\) trên \(BM\), \(P_2=S\) trên \(SC\). \(\overrightarrow{P_1P_2}=S-B=(0-6,\,0-0,\,8-0)=(-6,\,0,\,8).\)
- \emph{Tính tích có hướng} \(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}\) với \(\mathbf{v_1}=\overrightarrow{BM}=(-6,3,4)\) và \(\mathbf{v_2}=\overrightarrow{SC}=(6,6,-8)\): \[ \mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2} = \Bigl|\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ -6 & 3 & 4\\ 6 & 6 & -8 \end{matrix}\Bigr| = \bigl(3\cdot(-8)-4\cdot6\bigr)\mathbf{i} -\bigl((-6)\cdot(-8)-4\cdot6\bigr)\mathbf{j} +\bigl((-6)\cdot6 -3\cdot6\bigr)\mathbf{k}. \] \[ = ( -24 -24 )\,\mathbf{i} - \bigl(48 -24\bigr)\,\mathbf{j} + \bigl(-36 -18\bigr)\,\mathbf{k} = (-48,\,-24,\,-54). \] \[ |\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}| = \sqrt{(-48)^2+(-24)^2+(-54)^2} = \sqrt{2304+576+2916} = \sqrt{5796}\approx 76.16. \]
- \(\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}) = (-6,\,0,\,8)\cdot(-48,\,-24,\,-54) = (-6)(-48) +0\cdot(-24) +8\cdot(-54). \] \[ = 288 +(-432)= -144 \quad\Longrightarrow|\dots|=144. \] Suy ra khoảng cách: \[ d=\frac{144}{76.16}\approx 1.89. \]
Đáp số: \(\boxed{1.9}\) (làm tròn 1 chữ số thập phân).
Bài 4 (Khó – 1)
Đề bài:
Cho tứ diện \(ABCD\) với đáy tam giác \(ABC\) cân tại \(B\), cụ thể \(AB=AC=8\), \(BC=10\). Điểm \(D\) nằm trên đường vuông góc \(\bigl(ABC\bigr)\) tại \(B\), và \(DB=6\). Gọi \(M\) là trung điểm \(AC\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[ DM \quad \text{và}\quad AB. \] (Làm tròn nếu cần.)
Lời giải chi tiết (toạ độ)
- Đặt toạ độ:
- Cho \(B\) tại gốc: \(B(0,0,0)\).
- Cho \(A\) trên trục Ox, do \(AB=8\), nên \(A(8,0,0)\).
- Vì \(BC=10\), \(\overrightarrow{BC}=(x,y,0)\) có \(\sqrt{x^2+y^2}=10\). Đồng thời \(AC=8\)\(\Rightarrow\sqrt{(x-8)^2 + y^2}=8.\)
- Giải ra được (x,y) \(\approx(6.25,\,7.8)\). Vậy \(C(6.25,\,7.8,\,0)\).
- \(D\) “thẳng đứng” trên \(B\) theo vuông góc đáy, \(DB=6\)\(\Rightarrow D(0,0,6)\).
- \emph{Trung điểm} \(M\) của \(AC\): \[ M=\Bigl(\tfrac{8+6.25}{2},\;\tfrac{0+7.8}{2},\;0\Bigr) =\bigl(7.125,\;3.9,\;0\bigr). \]
- <(\(DM\))> có véc-tơ \(\overrightarrow{DM}=M-D=(7.125,\,3.9,\,0)-(0,0,6)=(7.125,\,3.9,\,-6)\).
<(\(AB\))> có véc-tơ \(\overrightarrow{AB}=A-B=(8-0,\;0-0,\;0-0)=(8,\,0,\,0)\).
- Chọn \(P_1=D(0,0,6)\) trên \(DM\), \(P_2=A(8,0,0)\) trên \(AB\). Khi đó \[ \overrightarrow{P_1P_2}=A-D=(8,0,0)-(0,0,6)=(8,0,-6). \]
- Tính tích có hướng \(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}\) với \(\mathbf{v_1}=\overrightarrow{DM}=(7.125,\,3.9,\,-6)\) và \(\mathbf{v_2}=\overrightarrow{AB}=(8,\,0,\,0)\): \[ (7.125,\,3.9,\,-6)\times(8,\,0,\,0) = \Bigl|\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 7.125 & 3.9 & -6\\ 8 & 0 & 0 \end{matrix}\Bigr|. \] \[ =\bigl(3.9\cdot0 -(-6)\cdot0\bigr)\mathbf{i} -\bigl(7.125\cdot0 -(-6)\cdot8\bigr)\mathbf{j} +\bigl(7.125\cdot0 -3.9\cdot8\bigr)\mathbf{k}. \] \[ = (0)\mathbf{i} -\bigl(0+48\bigr)\mathbf{j} +\bigl(0 -31.2\bigr)\mathbf{k} = (0,\;-48,\;-31.2). \] \[ \bigl|\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}\bigr| = \sqrt{0^2+(-48)^2+(-31.2)^2} = \sqrt{2304+973.44} = \sqrt{3277.44} \approx 57.24. \]
- \emph>Dot product \(\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2})\): \[ (8,0,-6)\cdot(0,-48,-31.2) = 8\cdot0 +0\cdot(-48)+(-6)\cdot(-31.2) = 187.2. \] Lấy giá trị tuyệt đối \(\approx 187.2\). Cuối cùng, \[ d=\frac{187.2}{57.24}\approx 3.27. \]
Đáp số: \(\boxed{3.3}\) (làm tròn 1 chữ số thập phân).
Bài 5 (Khó – 2)
Đề bài (mang tính tổng hợp):
Xét một hình chóp (hoặc lăng trụ) phức tạp, chẳng hạn S.ABCDE với đáy ngũ giác ABCDE phẳng, đỉnh S nằm ngoài mặt đáy. Ta cho toạ độ các điểm (hoặc các độ dài) cụ thể, rồi xét hai đường thẳng (SM) và (BD) (hoặc bất kỳ hai đường chéo nhau nào). Yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường ấy.
Lời giải gợi ý (mẫu):
- Xác định toạ độ A,B,C,D,E (các con số phù hợp), rồi S. Tính giao M = \((AC)\cap (SBD)\) (chẳng hạn) hay điểm bất kỳ.
Viết phương trình từng đường, lấy véc-tơ chỉ phương.
- Dùng công thức: \[ d\bigl(\ell_1,\ell_2\bigr) = \frac{\bigl|(\overrightarrow{P_1P_2})\cdot\bigl(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}\bigr)\bigr|} {\bigl|\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}\bigr|}, \] trong đó \(\mathbf{v_1},\mathbf{v_2}\) là véc-tơ chỉ phương hai đường; \(P_1\in \ell_1,\,P_2\in \ell_2\). Tính cẩn thận tích có hướng, tích vô hướng.
- Kết quả thường là một số căn thức. Cuối cùng làm tròn (nếu đề yêu cầu).
Đáp số tham khảo: Tùy bài cụ thể, có thể ra \(\approx 2.5\), \(\approx 3.1\), v.v.
Tóm tắt toàn bộ:
- Bài 1: Hai đường chéo nhau trong lăng trụ đứng tam giác. Đáp số cỡ 5.0.
- Bài 2: Hộp chữ nhật, khoảng cách \((OC')\) và \((A'B)\). Đáp số \(\approx 2.4\).
- Bài 3: Chóp tứ giác vuông tại \((ABCD)\), tính khoảng cách \((BM)\) và \((SC)\). Đáp số \(\approx 1.9\).
- Bài 4: Tứ diện với đáy tam giác cân, tính \((DM)\) và \((AB)\). Đáp số \(\approx 3.3\).
- Bài 5: Một bài dạng “tổng hợp” tuỳ cho toạ độ, kết quả cuối thường một giá trị số hoặc căn thức.