5 BÀI TOÁN “MỞ RỘNG HÌNH CHỮ NHẬT THÀNH HÌNH TRÒN”

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

5 BÀI TOÁN “MỞ RỘNG HÌNH CHỮ NHẬT THÀNH HÌNH TRÒN”

Bài tập dạng trả lời ngắn.

5 BÀI TOÁN “MỞ RỘNG HÌNH CHỮ NHẬT THÀNH HÌNH TRÒN” (TƯƠNG TỰ DẠNG TÌM CÁCH SẮP XẾP/THIẾT KẾ HÌNH CHỮ NHẬT ĐỂ TỐI ƯU DIỆN TÍCH MỞ RỘNG)

Giới thiệu chung: Những bài dưới đây đều xoay quanh ý tưởng “cho một hình chữ nhật với thông số nào đó (diện tích, chu vi...); người ta muốn bao ngoài bằng một đường tròn (cùng tâm hoặc điều kiện cụ thể), rồi cần tìm hình chữ nhật tối ưu sao cho phần mở rộng (hoặc phần chênh lệch diện tích) là nhỏ nhất / lớn nhất / v.v.” Mỗi bài gồm lời giải chi tiết và đáp số. Có 5 bài, sắp xếp độ khó: 1 dễ, 2 trung bình, 2 khó (dài để suy luận).

Bài 1 (Dễ)

Đề bài:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích cố định là \(S=36\,\text{m}^2\). Ta muốn bao quanh mảnh vườn bằng một hình tròn ngoại tiếp (tức là 4 đỉnh hình chữ nhật nằm trên đường tròn). Giả sử tâm của đường tròn trùng với tâm của hình chữ nhật. Tính diện tích phần mở rộng \(\Delta\) (tức \(\text{Diện tích hình tròn} - \text{diện tích chữ nhật}\)) nhỏ nhất có thể, và xác định kích thước hình chữ nhật khi đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật là \(x\) và \(y\). Có \(x \cdot y = 36\). Đường chéo là \(\sqrt{x^2 + y^2}\). Nếu đường tròn ngoại tiếp có tâm tại tâm HCN, bán kính: \[ R=\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}. \]
Diện tích hình tròn: \[ \pi R^2 = \pi\,\frac{x^2 + y^2}{4}. \] Phần mở rộng: \[ \Delta = \pi\,\frac{x^2 + y^2}{4} \;-\; xy = \frac{\pi}{4} \,(x^2 + y^2) - 36. \]
Với ràng buộc \(xy=36\). Bất đẳng thức: \[ x^2 + y^2 \;\ge\; 2xy = 72, \] bằng nhau khi \(x=y\). Vậy để \(\Delta\) nhỏ nhất, ta cần \(x^2 + y^2\) nhỏ nhất => \(x=y=\sqrt{36}=6\). (Hình vuông.) Khi đó \(x^2 + y^2=72\).
\(\Delta_{\min}= \frac{\pi}{4} \times 72 -36 =18\pi -36.\)
Gần đúng: \(18\cdot 3.14159 -36\approx 56.55 -36=20.55\,\text{m}^2.\)

Đáp số:

Kích thước HCN tối ưu: \(x=y=6\) (một hình vuông 6x6).
Phần mở rộng nhỏ nhất: \(\Delta_{\min}=18\pi -36\approx 20.6\,\text{m}^2.\)

Bài 2 (Trung bình – 1)

Đề bài:

Giả sử một hồ cá hình chữ nhật có chu vi cố định \(P=40\) (m), tức \(2(x+y)=40\Rightarrow x+y=20\). Muốn “làm bờ” phía ngoài hồ theo một đường tròn ngoại tiếp hồ (lấy tâm trùng tâm hình chữ nhật). Tính độ dài phần bờ tròn này (chính là chu vi của đường tròn) nhỏ nhất, xác định cấu hình \(x,y\) khi đó.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(x,y>0\) với \(x+y=20\). Đường chéo: \(\sqrt{x^2 +y^2}\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp: \[ R= \frac{\sqrt{x^2 +y^2}}{2}. \]
Chu vi tròn = \(2\pi R= \pi \frac{\sqrt{x^2 +y^2}}{1}\). Ta muốn \(\sqrt{x^2 +y^2}\) nhỏ nhất để bờ tròn ngắn nhất. Nhưng \(\sqrt{x^2 + y^2}\) lớn hay nhỏ? Xét ràng buộc \(x+y=20\). Ta có \[ x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 400 -2xy. \] Để nhỏ nhất, ta cần \(xy\) lớn nhất. Mà \(x+y=20\) => \(xy\) cực đại khi \(x=y=10\). Lúc ấy, \(x^2 +y^2= 100+100=200\).
\emph{Do đó}: \[ \sqrt{x^2 +y^2}_{\min} = \sqrt{200}=10\sqrt2, \quad R_{\min}= \frac{10\sqrt2}{2}= 5\sqrt2. \] \[ \text{Chu vi tròn}_{\min}= 2\pi R_{\min}= 2\pi \cdot 5\sqrt2= 10\sqrt2\,\pi. \] Gần đúng: \(10\times1.4142\times3.14159\approx44.43\).

Đáp số:

Hồ tối ưu: \(x=y=10\) (một HCN vuông 10x10, chu vi 40).
Chu vi vòng tròn bao ngoài nhỏ nhất: \(10\sqrt2\,\pi \approx 44.43\text{ (m)}.\)

Bài 3 (Trung bình – 2)

Đề bài (mô phỏng gần bài gốc):

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích \(S=500\,\text{m}^2\). Muốn mở rộng mảnh đất ra thành một hình tròn ngoại tiếp có cùng tâm với hình chữ nhật, tức 4 đỉnh HCN nằm trên đường tròn. Hỏi phải chọn kích thước (chiều dài \(x\), chiều rộng \(y\)) thế nào để “diện tích mở rộng” (phần mới cộng thêm khi bao phủ hình tròn) là nhỏ nhất? Tính giá trị tối ưu ấy.

Lời giải chi tiết:

\(\quad x\cdot y=500.\) \(\quad \text{Đường chéo}=\sqrt{x^2 +y^2}.\) \(\quad R=\tfrac12\sqrt{x^2 +y^2},\;\;\text{Diện tích tròn}=\pi\dfrac{x^2 +y^2}{4}.\)
Phần mở rộng: \[ \Delta= \pi \,\frac{x^2 +y^2}{4} -xy = \frac{\pi}{4}(x^2 +y^2) -500. \]
Muốn \(\Delta\) nhỏ, \(\iff x^2 + y^2\) nhỏ. Nhưng \(x^2 +y^2 \ge 2xy= 1000\), dấu “=” nếu \(x=y= \sqrt{500}\).
Lúc đó \(\Delta_{\min}= \frac{\pi}{4}\times 1000 -500=250\pi -500\). Gần đúng: \(250\times3.14-500=785-500=285\,\text{m}^2.\)

Đáp số: Hình chữ nhật phải là hình vuông cạnh \(\sqrt{500}\approx22.36\), diện tích mở rộng nhỏ nhất = \(250\pi-500\approx285\).

Bài 4 (Khó – 1)

Đề bài:

Một khuôn viên trường có hình chữ nhật chiều dài \(x\), chiều rộng \(y\). Người ta chưa ấn định diện tích hay chu vi, mà có điều kiện riêng: \[ \; 2x + 3y = 600\quad(\text{chẳng hạn}). \] Nay muốn “xây tường bao quanh” theo một vòng tròn ngoại tiếp (tâm trùng tâm hình chữ nhật). Hỏi phải chọn \((x,y)\) (thỏa \(2x+3y=600\)) thế nào để diện tích vòng tròn nhỏ nhất (tức muốn vòng tròn này gọn nhất). Tính diện tích vòng tròn tối ưu.

Lời giải phác thảo (dài hơn để suy luận):

Ràng buộc: \[ 2x+3y=600 \quad \Longrightarrow \quad y= \frac{600-2x}{3}. \]
Đường chéo HCN = \(\sqrt{x^2 + y^2}\). Bán kính \(\displaystyle R=\frac12 \sqrt{x^2+y^2}\). Muốn diện tích \(\pi R^2 = \pi \frac{x^2+y^2}{4}\) nhỏ => \(x^2 + y^2\) nhỏ. Xét: \[ f(x)= x^2 + \left(\frac{600-2x}{3}\right)^2. \] Tìm \(\min_{x>0} f(x)\). \[ f(x)= x^2 + \frac{(600-2x)^2}{9} = x^2+ \frac{360000 -2400x +4x^2}{9} = x^2+ 40000 - \frac{800x}{3} + \frac{4x^2}{9}. \] Gộp: \[ f(x)= \frac{9x^2 +4x^2}{9} +40000 -\frac{800x}{3} = \frac{13x^2}{9} -\frac{800x}{3} +40000. \] Đạo hàm: \[ f'(x)= \frac{26x}{9} - \frac{800}{3}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{26x}{9}= \frac{800}{3} \;\Longrightarrow\; 26x= 800\times3/1 \times \frac{9}{1} \dots \] Cẩn thận hơn: \[ \frac{26x}{9}= \frac{800}{3} \;\Longrightarrow\; 26x \cdot 3= 9\cdot 800 \;\Longrightarrow\; 78x=7200 \;\Longrightarrow\; x=\frac{7200}{78}\approx92.31. \]
Từ đó \(y= \tfrac{600-2(92.31)}{3}= \tfrac{600 -184.62}{3}= \tfrac{415.38}{3}\approx138.46.\) \(\sqrt{x^2 + y^2}\approx \sqrt{(92.31)^2+(138.46)^2}\approx \sqrt{8521+19173}\approx \sqrt{27694}\approx166.36.\) \(R\approx 83.18,\quad \text{diện tích}= \pi R^2 \approx 3.14159\times(83.18)^2\approx3.14159\times 6919\approx21737.\)

Ghi chú: Kết quả cỡ 21,737 (m²), tuỳ làm tròn. Tất cả “dài để suy luận” vì ta phải đặt \(x\), ràng buộc tuyến tính, rồi tối ưu.

Đáp số:

\(x\approx 92.31,\;y\approx138.46\).
Diện tích vòng tròn tối thiểu \(\approx 21700\,\text{m}^2.\)

Bài 5 (Khó – 2, yêu cầu “dài để suy luận”)

Đề bài:

Một mảnh vườn hình chữ nhật (chưa rõ kích thước) có đường chéo \(d=50\) (m). Người ta muốn “xây tường rào” dạng đường tròn ngoại tiếp, cũng lấy tâm trùng tâm. Để tiết kiệm chi phí, họ giới hạn tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng không vượt quá 1/5 (hoặc 5 lần). Cụ thể: \[ \frac{1}{5} \;\le\; \frac{x}{y} \;\le\;5. \] Hỏi nên chọn \(x,y\) (thỏa \(x^2+y^2=50^2=2500\) và trên) như thế nào để diện tích hình tròn (bằng \(\pi\,\tfrac{(x^2 + y^2)}{4}\)) là nhỏ nhất hay lớn nhất? Tính giá trị ấy (phần “mở rộng” = \(\text{diện tích tròn} - x\,y\) cũng có thể hỏi).

Lời giải gợi ý:

Cho \(x^2 + y^2=2500\). Bán kính \(\;R=\tfrac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}= \tfrac{50}{2}=25\). Dễ thấy \(\text{diện tích hình tròn}=\pi R^2= \pi\,25^2=625\pi\). Kỳ thực nó không phụ thuộc \((x,y)\) một khi đường chéo = 50. Vậy diện tích hình tròn là hằng số = \(625\pi\). ⇒ Bài có thể hỏi “phần mở rộng = \(625\pi - xy\)”. Lúc ấy, ta cần \(\max(xy)\) hoặc \(\min(xy)\) với \(\sqrt{x^2+y^2}=50\) và \(\frac{x}{y}\) trong [1/5, 5].
Nếu \(\frac{x}{y}\) tự do, \(\max(xy)\) là khi \(x=y= \frac{50}{\sqrt{2}}\approx35.36\). Nhưng ta có ràng buộc \(\frac{x}{y}\in [1/5,\;5]\).
- Nếu \(\frac{x}{y}\le5\), “bên kia” => ta đặt \(x=5y\) => \((5y)^2 + y^2=2500\Rightarrow 25y^2+ y^2=26y^2=2500\Rightarrow y^2=\frac{2500}{26}\). ⇒ \(\,y= \sqrt{\frac{2500}{26}}= \frac{50}{\sqrt{26}}\approx9.80,\; x=5y\approx49.0.\)
- Nếu \(\frac{x}{y}\ge 1/5\), cùng logic => \(x=\frac{y}{5}\) => \(\frac{y^2}{25}+y^2=2500\Rightarrow \frac{26y^2}{25}=2500\Rightarrow y^2=\frac{2500\cdot25}{26}\). ⇒ \(\,y\approx 49.0,\; x\approx9.80.\)
Khi \(\frac{x}{y}\) ở giữa, ta có “nội suy” => \(xy\) sẽ lớn hơn. Tại \(\frac{x}{y}=1\) => \(x=y=\tfrac{50}{\sqrt2}= 35.36\). So sánh “(5,1/5) cặp” với “(1,1) cặp”.
- \(\displaystyle x=y=35.36\implies xy\approx1250.\)
- \(\displaystyle x=49,\;y=9.80\implies xy\approx 480.2.\)
Rõ ràng 1250 > 480.2.
Trả lời:
- Cực đại của \(xy\) (trong dải tỉ lệ \([1/5,5]\)) là khi \(x=y=35.36\). Lúc ấy \(\,xy=1250.\) => “Phần mở rộng” = \(625\pi -1250.\) \(\approx1962.5-1250=712.5.\)
- Cực tiểu của \(xy\) xảy ra tại \(\frac{x}{y}=5\) (hoặc =1/5). Tính ra \(\,xy\approx 480.2.\) => “Phần mở rộng” = \(625\pi -480.2\approx1962.5-480.2=1482.3.\)
Lưu ý: “Cực tiểu” hay “Cực đại” của \(xy\) => ngược lại cho “phần mở rộng” = “\(625\pi -xy\)”. Thứ tự: - \(xy\) lớn nhất => “phần mở rộng” nhỏ nhất. - \(xy\) nhỏ nhất => “phần mở rộng” lớn nhất.

Kết luận:

Diện tích hình tròn vẫn là \(625\pi \approx1962.5\), cố định.
Nếu muốn “mảnh vườn” (HCN) để phần mở rộng bé nhất thì \(x=y=35.36\). Lúc ấy “mở rộng” \(\approx712.5\).
Nếu buộc tỉ số \(\frac{x}{y}\le5\) nhưng chưa hết <-> \(\frac{x}{y}=1\) là nằm trong [1/5,5]\).
Nếu “cố tình” làm HCN cực dẹt, \(\frac{x}{y}=5\) => “mở rộng” \(\approx1482.3\).

Tóm tắt 5 bài:

Bài 1 (Dễ): Diện tích HCN cố định =36, thêm vòng tròn ngoại tiếp, tìm “mở rộng” ít nhất => kết quả \(\Delta_{\min} = 18\pi -36\).
Bài 2 (TB-1): Chu vi HCN =40, tìm chu vi vòng tròn ngoại tiếp nhỏ nhất => HCN vuông 10x10, kết quả \(10\sqrt2\pi.\)
Bài 3 (TB-2): Diện tích =500, tương tự bài gốc, \(\Delta_{\min} = 250\pi-500.\)
Bài 4 (Khó-1): Ràng buộc dạng tuyến tính (2x+3y=600), muốn vòng tròn bé nhất => tính qua \(\min (x^2+y^2)\) với y=(600-2x)/3. Đạo hàm, x≈92.31, y≈138.46, v.v.
Bài 5 (Khó-2): Đường chéo HCN cố định =50, “nhưng tỉ số x/y k bị ép” => ta tìm “phần mở rộng” min/max. Hình tròn vốn bán kính 25 =>diện tích =625π là bất biến, => “mở rộng” =625π - xy. Dãy x/y∈[1/5,5]. Cực đại / cực tiểu của xy tùy cặp (5,1/5) / (1,1).