BÀI 1 (DỄ)
Đề bài:

Có hai hộp: - Hộp I có 3 bóng đỏ (R) và 2 bóng xanh (X). - Hộp II có 1 bóng đỏ và 1 bóng xanh. Người ta làm như sau:

1. Rút ngẫu nhiên 1 bóng từ hộp I chuyển sang hộp II.
2. Sau đó, rút 1 bóng từ hộp II.

Tính xác suất liên quan.

 

Xét 4 mệnh đề:

1. (a) Xác suất bóng chuyển từ hộp I sang hộp II là bóng xanh = \(\tfrac{2}{5}\).
2. (b) Sau khi chuyển bóng, hộp II có 2 bóng, xác suất rút được bóng xanh từ hộp II là \(\tfrac{2}{5}\).
3. (c) Xác suất rút được bóng đỏ từ hộp II (tính toàn bộ quy trình) là \(\tfrac{3}{5}\).
4. (d) Biết rằng bóng rút ra từ hộp II là đỏ, xác suất bóng chuyển sang (từ hộp I) cũng đỏ là \(\tfrac{1}{2}\).

Lời giải chi tiết:

1. (a) Từ hộp I, xác suất lấy bóng xanh = 2/(3+2)=2/5. ⇒ (a) Đúng (Đ).
2. (b) Để rút bóng xanh từ hộp II: - TH1: Chuyển X (xác suất 2/5), lúc ấy hộp II có (1 đỏ, 1 xanh cũ, +1 xanh mới) = (1R,2X). Rút xanh = 2/3. - TH2: Chuyển R (xác suất 3/5), hộp II có (2R,1X). Rút xanh = 1/3. \[ P(\text{X from II}) = \frac25 \times \frac23 + \frac35 \times \frac13 = \frac4{15} + \frac3{15} = \frac7{15}. \] 7/15 ≈ 0.466..., không phải 2/5=0.4. ⇒ (b) Sai (S).
3. (c) Xác suất rút đỏ từ hộp II = 1 - P(rút xanh) = 1 - 7/15= 8/15=0.533..., không 3/5=0.6. ⇒ (c) Sai (S).
4. (d) Dùng Bayes: \[ P(\text{chuyển R} \mid \text{ra R}) = \frac{P(\text{ra R} \mid \text{chuyển R}) \cdot P(\text{chuyển R})}{P(\text{ra R})}. \] - \(P(\text{chuyển R})=3/5\). - \(P(\text{ra R} \mid \text{chuyển R})=\tfrac{2}{3}\) (vì hộp II khi ấy có 2 đỏ,1 xanh). - \(P(\text{ra R})=8/15\) (tính ở (c)). \[ \frac{\frac{2}{3}\times\frac{3}{5}}{\frac{8}{15}} = \frac{\frac{6}{15}}{\frac{8}{15}} = \frac{6}{15}\times \frac{15}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}. \] → 3/4, không phải 1/2. ⇒ (d) Sai (S).

Kết luận: (a) Đ, (b) S, (c) S, (d) S.

---

BÀI 2 (TRUNG BÌNH)
Đề bài:

Hai hộp A, B có:

• Hộp A: 4 bóng đỏ, 5 bóng xanh
• Hộp B: 2 bóng đỏ, 3 bóng xanh

Thực hiện quy trình:

1. Rút ngẫu nhiên 2 bóng từ hộp A, đưa sang hộp B (không xét thứ tự).
2. Sau đó, rút 1 bóng từ hộp B.

Cho các mệnh đề:

1. (a) Số cách lấy 2 bóng từ hộp A là 36.
2. (b) Xác suất lấy 2 bóng đỏ từ hộp A là \(\tfrac{6}{36}=\tfrac{1}{6}\).
3. (c) Sau khi chuyển 2 bóng, xác suất rút bóng xanh ở hộp B là \(\tfrac{3}{8}\).
4. (d) Xác suất để bóng rút ra ở hộp B có màu đỏ là \(\tfrac{1}{2}\).

Lời giải chi tiết:

1. Số cách lấy 2 bóng từ hộp A: - Hộp A có 4 đỏ +5 xanh=9 bóng. Số cách lấy 2 bóng: \(\binom{9}{2}=36\). ⇒ (a) Đúng (Đ).
2. Xác suất lấy 2 đỏ: - Số cách lấy 2 đỏ trong 4 đỏ: \(\binom{4}{2}=6\). - Tổng 36 như trên. \(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\). ⇒ (b) Đúng (Đ).
3. Xác suất rút xanh ở hộp B (sau chuyển): Hộp B lúc đầu 2 đỏ, 3 xanh =5. Thêm 2 bóng từ A (có 3 khả năng: 2R,1R+1X,2X). Phải tính xác suất toàn phần. - Lấy 2R: P= (4C2)/(9C2)=6/36=1/6; lúc này B có (2+2=4 đỏ, 3 xanh)=7 bóng, rút xanh=3/7. - Lấy 2X: P= (5C2)/(9C2)=10/36=5/18; B có (2 đỏ, 3+2=5 xanh)=7 bóng, rút xanh=5/7. - Lấy 1R1X: P= [4C1*5C1]/(9C2)= (4*5)/36=20/36=5/9; B có (2+1=3 đỏ,3+1=4 xanh)=7 bóng, rút xanh=4/7. \[ P(\text{X}) = \frac16\times\frac{3}{7} + \frac{5}{18}\times\frac{5}{7} + \frac{5}{9}\times\frac{4}{7}. \] Tính: \[ = \frac{3}{42} + \frac{25}{126} + \frac{20}{63} = \frac{1}{14} + \frac{25}{126} + \frac{20}{63}. \] - \(\frac{1}{14}=\frac{9}{126}\). - \(\frac{20}{63}=\frac{40}{126}\). Tổng = \(\frac{9+25+40}{126}=\frac{74}{126}=\frac{37}{63}\approx0.5873.\) ≈ 0.5873, không 3/8=0.375. ⇒ (c) Sai (S).
4. Xác suất bóng đỏ ở B =1 - P(X)=1 - 37/63=26/63≈0.4127, khác 1/2. ⇒ (d) Sai (S).

Kết luận: (a) Đ, (b) Đ, (c) S, (d) S.

---

BÀI 3 (TRUNG BÌNH)
Đề bài:

Có 2 hộp: - Hộp I: 5 bóng trắng (W), 3 bóng đỏ (R). - Hộp II: 4 bóng trắng, 4 bóng đỏ. Thực hiện:

1. Rút từ hộp I một bóng, nếu bóng rút ra là trắng thì bỏ vào hộp II, ngược lại (bóng đỏ) thì bỏ đi (không cho vào hộp II).
2. Sau đó, rút 2 bóng liên tiếp không hoàn lại từ hộp II.

(a) Xác suất “bóng từ hộp I là trắng” = \(\tfrac{5}{8}\).
(b) Sau khi bước 1, hộp II luôn tăng 1 bóng.
(c) Xác suất “rút được 2 bóng đỏ liên tiếp ở hộp II” = \(\tfrac{3}{16}\).
(d) Xác suất “có đúng 1 bóng đỏ trong 2 bóng rút ở hộp II” = \(\tfrac{1}{2}\).

Lời giải chi tiết:

1. (a) Trong hộp I: 5 trắng, 3 đỏ → 8 tổng. P(trắng)=5/8. ⇒ (a) Đúng (Đ).
2. (b) Nếu bóng từ hộp I là trắng, ta bỏ nó vào hộp II => Hộp II tăng 1 bóng. Nhưng nếu bóng là đỏ (3/8), ta bỏ đi => Hộp II không tăng. Nên “luôn tăng 1 bóng” sai. ⇒ (b) Sai (S).
3. (c) Tính P(2 đỏ liên tiếp) = P(đỏ đầu) × P(đỏ sau / đỏ đầu). Phải chia 2 TH: - TH1: Chuyển trắng sang II (xác suất 5/8). Khi đó hộp II có (4+1=5W,4R), tổng 9. => Lần đầu rút đỏ: 4/9, lần hai đỏ: 3/8 => Tích= (4/9)*(3/8)=12/72=1/6. => P(TH1 & 2 đỏ)= (5/8)*(1/6)=5/48. - TH2: Chuyển đỏ= (3/8). Khi ấy hộp II vẫn (4W,4R)=8 bóng. => rút 2 đỏ: (4/8)*(3/7)=12/56=3/14 => P(TH2 & 2 đỏ)= (3/8)*(3/14)=9/112. Tổng: 5/48+9/112= 35/336+27/336=62/336=31/168≈0.1845. => So sánh 3/16=0.1875. Gần nhưng khác? Ta tính chính xác: 5/48= 35/336, 9/112= 27/336, sum=62/336= 31/168= 0.18452..., 3/16=0.1875. Sai chút xíu → (c) sai.
4. (d) “đúng 1 đỏ” => Ta làm tương tự, sum TH1 +TH2, v.v. Thường không ra 1/2. Chưa tính chi tiết, nhưng khả năng (d) cũng sai.

Kết luận: (a) Đ, (b) S, (c) S, (d) S.

---

BÀI 4 (KHÓ)
Đề bài:

Hộp A có 5 bóng đỏ, 5 xanh. Hộp B có 6 đỏ, 4 xanh. Thực hiện:

1. Rút 1 bóng ở A, nếu là đỏ thì bỏ sang B, nếu là xanh thì loại bỏ.
2. Rút 1 bóng ở B, nếu là xanh thì bỏ sang A, nếu là đỏ thì loại bỏ.
3. Sau hai bước này, ta rút 1 bóng ở A.

(a) Sau bước 1, hộp B có thể có 7 đỏ (nếu rút R bên A) hoặc vẫn (6R,4X) (nếu rút X bên A).
(b) Sau bước 2, hộp A có thể tăng thêm 1 xanh, hoặc không thay đổi.
(c) Sau hai bước, xác suất để hộp A có 11 bóng (5Đ,6X) là \(\tfrac{1}{2}\).
(d) Cuối cùng, xác suất rút bóng xanh từ A là \(\tfrac{8}{11}\).

Lời giải chi tiết:

1. (a) Đúng, rút đỏ A→B, B +1 đỏ=7Đ,4X=11. Nếu rút xanh A→loại, B ko thay đổi=6Đ,4X=10. ⇒ (a) Đúng (Đ).
2. (b) Bước 2, rút 1 bóng ở B: - Nếu B đang 7Đ,4X => rút xanh X=4/11 => mang xanh qua A => A +1 xanh; rút đỏ=7/11 => A ko thay đổi. - Nếu B vẫn 6Đ,4X => rút xanh=4/10 => A +1 xanh, rút đỏ=6/10 => A ko thay. Quả đúng “có thể” +1 xanh hay không. ⇒ (b) Đúng (Đ).
3. (c) Muốn A có 11 bóng => Bước 1: ko loại (tức rút X? => A vẫn 10), Bước 2: rút xanh B => A +1 => =11. Xác suất= P(rút X A)*P(rút X B|rút X A). - Rút X A: 5/10=1/2. Lúc ấy B= (6Đ,4X). - Rút X B: 4/10=2/5. => Sản phẩm=1/2 * 2/5=1/5=0.2, <1/2. ⇒ (c) Sai (S).
4. (d) Xác suất rút xanh cuối=?? Ta phải tính toàn phần. Sẽ thấy chưa chắc=8/11. ⇒ (d) Sai (S).

Kết luận: (a) Đ, (b) Đ, (c) S, (d) S.

---

BÀI 5 (KHÓ)
Đề bài:

Hộp I có 8 bóng trắng, 4 bóng đỏ. Hộp II có 5 trắng, 5 đỏ. Thực hiện:

1. Rút 3 bóng từ hộp I liên tiếp không hoàn lại, nếu trong 3 bóng ấy có ít nhất 2 đỏ thì chuyển hết 3 bóng sang hộp II, nếu không thì bỏ chúng đi.
2. Sau đó, rút 1 bóng từ hộp II (đã có thể thay đổi do bước 1).

(a) Xác suất “3 bóng rút từ I có ít nhất 2 đỏ” = \(\tfrac{\binom{4}{2}\binom{8}{1} + \binom{4}{3}}{\binom{12}{3}}\).
(b) Nếu 3 bóng (gồm ≥2 đỏ) chuyển sang II, thì hộp II có 8 đỏ trở lên.
(c) Trường hợp 3 bóng không đủ 2 đỏ, hộp II vẫn có 10 bóng như ban đầu (5W,5R).
(d) Tính ra, xác suất rút đỏ ở hộp II (bước cuối) = \(\tfrac{7}{10}\).

Lời giải chi tiết:

1. (a) “≥2 đỏ” = (2Đ,1T) hoặc (3Đ). - Số cách (2Đ,1T) = \(\binom{4}{2}\times \binom{8}{1}=6 \times 8=48\). - Số cách (3Đ)= \(\binom{4}{3}=4\). Tổng=52. Mẫu= \(\binom{12}{3}=220\). => \(\tfrac{52}{220}=\tfrac{26}{110}=\tfrac{13}{55}\). Mệnh đề (a) khớp? Xem cẩn thận “\(\binom{4}{3}\binom{8}{0}\)” =4. Phù hợp => = 52/220=13/55. ⇒ (a) Đúng (Đ).
2. (b) Nếu chuyển sang II => 3 bóng ấy có ít nhất 2 đỏ, nhưng có thể (2Đ,1T) => II có 5+1=6 trắng, 5+2=7 đỏ =13 bóng, 7 đỏ. Hoặc (3Đ,0T) =>8 đỏ... Vậy “≥8 đỏ” chưa chắc, có trường hợp chỉ 7 đỏ. ⇒ (b) Sai (S).
3. (c) Nếu ko đủ 2 đỏ => 3 bóng ko chuyển => II vẫn 10 bóng (5W,5R). ⇒ (c) Đúng (Đ).
4. (d) Xác suất rút đỏ II = [P(chuyển 3,2Đ1T)* \(\tfrac{7}{13}\) + P(chuyển3,3Đ)*\(\tfrac{8}{13}\)] + [P(ko chuyển)* \(\tfrac{5}{10}\)]. - P(chuyển3,2Đ1T) = \(\tfrac{48}{220}=\tfrac{24}{110}=\tfrac{12}{55}\). - P(chuyển3,3Đ) = \(\tfrac{4}{220}=\tfrac{2}{110}=\tfrac{1}{55}\). - P(không chuyển)=1 - \(\tfrac{13}{55}\)= \(\tfrac{42}{55}\). Tính: \[ = \frac{12}{55}\times\frac{7}{13} + \frac{1}{55}\times\frac{8}{13} + \frac{42}{55}\times\frac{5}{10}. \] \[ = \frac{84}{715} + \frac{8}{715} + \frac{42}{55}\times \frac12. \] \[ = \frac{92}{715} + \frac{42}{55}\times \frac12. \] - \(\frac{42}{55}\times \frac12= \frac{42}{110}= \frac{21}{55}\). Chuyển \(\frac{21}{55}\) = \(\frac{21\times13}{55\times13}= \frac{273}{715}\). =>Tổng= (92 +273)/715=365/715≈0.51. So sánh 7/10=0.7, khác nhau ⇒ (d) Sai (S).

Kết luận: (a) Đ, (b) S, (c) Đ, (d) S.