5 bài toán ứng dụng hình học trong tính chi phí

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

5 bài toán ứng dụng hình học trong tính chi phí

BÀI 1 (DỄ)
Đề bài:

Một chiếc hộp không nắp có đáy hình chữ nhật, chiều dài \(x\), chiều rộng \(y\), chiều cao \(h\). Thể tích yêu cầu là 1 m³. Người ta làm đáy bằng gỗ với chi phí 200 000 đ/m², còn các mặt bên dùng nhựa mờ với chi phí 100 000 đ/m². Bỏ qua mọi chi phí khác.

(a) Mối liên hệ giữa \(x,\,y,\,h\) nếu thể tích phải bằng 1 (m³) là: \(xyh = 1\).
(b) Diện tích đáy là 1 (m²) tại cấu hình tối ưu.
(c) Nếu \(x=1\) và \(y=1\) thì chi phí làm các mặt bên là 400 000 đ.
(d) Chi phí làm đáy khi \(x=2\) và \(y=1\) (m) là 200 000 đ.

Lời giải chi tiết:

Liên hệ thể tích: \[ V = x \cdot y \cdot h = 1. \] Mệnh đề (a) “\(xyh=1\)” → Đúng (Đ).
Diện tích đáy trong cấu hình tối ưu? - Bài gốc không cho đầy đủ quá trình tối ưu, tuy nhiên “diện tích đáy = 1 m^2” chỉ là một giả thuyết. - Thông thường, để tìm cấu hình tối ưu (nhỏ nhất chi phí), ta cần lập hàm chi phí: \[ C = \text{(đáy)} + \text{(mặt bên)} = 200{,}000 \cdot (xy) + 100{,}000 \cdot [2(xh + yh)]. \] Kết hợp \(xyh=1\). Ta không chắc “diện tích đáy = 1” là kết quả cuối. → (b) Chưa hẳn đúng. Ta kết luận (b) Sai (S).
Chi phí các mặt bên khi \(x=1,y=1\): - Khi \(x=1\), \(y=1\), thể tích \(1\cdot1\cdot h=1\) → \(h=1\). - Diện tích 4 mặt bên = chu vi đáy × chiều cao = \((2(x+y))\times h = 2(1+1)\times1=4.\) - Chi phí mặt bên = 100 000 × 4 = 400 000 đ. → (c) Đúng (Đ).
Chi phí làm đáy khi \(x=2,y=1\): - Diện tích đáy = \(2\times1=2\) m². - Chi phí: 200 000 đ/m² × 2 = 400 000 đ, không phải 200 000 đ. → (d) Sai (S).

Kết luận: (a) Đ, (b) S, (c) Đ, (d) S.

BÀI 2 (TRUNG BÌNH)
Đề bài:

Người ta muốn thiết kế một bể nuôi cá dạng hộp chữ nhật có nắp, dung tích 2 m³. Chiều dài \(x\), chiều rộng \(y\), chiều cao \(h\). - Vật liệu cho đáy và nắp: giá 150 000 đ/m². - Vật liệu cho 4 mặt bên: giá 80 000 đ/m². Hỏi:

(a) Điều kiện thể tích: \(xyh = 2\).
(b) Diện tích tất cả các mặt (gồm đáy, nắp, 4 mặt bên) là \(2xy + 2(xh + yh)\).
(c) Chi phí vật liệu khi \(x=2,y=1,h=1\) là 540 000 đ.
(d) Giả sử bài toán này có cấu hình tối ưu tại \(x=y= \sqrt{2}, h=1\), thì chi phí đạt \(\leq 600\,000\) đ.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện thể tích: \[ x \cdot y \cdot h = 2. \] → (a) Đúng (Đ).
Tổng diện tích: - Đáy: \(xy\). - Nắp: \(xy\). - Bốn mặt bên: \(2xh+2yh\). - Tổng: \(xy + xy + 2xh + 2yh = 2xy + 2(xh + yh)\). → (b) Đúng (Đ).
Chi phí khi \(x=2,y=1,h=1\): - Đáy: 2 m², nắp: 2 m², bốn mặt bên: tính riêng. + Mặt bên 1: \(2 \times 1=2\) m² + Mặt bên đối diện: 2 m² + Mặt bên khác (1×1): 1 m² + Mặt còn lại (1×1): 1 m² → Tổng 4 mặt bên = 2+2+1+1=6 m². - Chi phí: + Đáy + nắp = 2+2=4 m² × 150 000 = 600 000 đ + Bên = 6 m² × 80 000 = 480 000 đ → Tổng = 600 000 + 480 000 = 1 080 000 đ, không phải 540 000. → (c) Sai (S).
Cấu hình \((x,y,h)=(\sqrt{2},\sqrt{2},1)\): - Kiểm tra thể tích: \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times1=2\). - Tính chi phí (phác thảo): + Đáy + nắp: \(xy= (\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})=2\) (mỗi cái 2 m², tổng 4 m²). + 4 mặt bên: \(2xh+2yh = 2(\sqrt{2}\cdot1)+2(\sqrt{2}\cdot1)= 2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2} \approx 5.6569.\) - Chi phí: + Đáy+nắp: 4 m² × 150 000 = 600 000 đ + Mặt bên: 5.6569 m² × 80 000 ≈ 452 552 đ → Tổng ≈ 1 052 552 đ > 600 000. → (d) “Chi phí ≤ 600 000 đ” là Sai (S).

Kết luận:

(a) Đ, (b) Đ, (c) S, (d) S.

BÀI 3 (TRUNG BÌNH)
Đề bài:

Người ta muốn chế tạo một thùng chứa hình trụ (có đáy và nắp, dạng hình trụ đứng) dung tích 1 m³. Bán kính đáy \(r\) (m), chiều cao \(h\) (m). - Vật liệu cho đáy và nắp: 200 000 đ/m². - Vật liệu cho mặt xung quanh (hình tròn xoay): 150 000 đ/m². Bỏ qua các mép hàn mối ghép, chi phí khác.

(a) Thể tích: \(\pi r^2h = 1\).
(b) Diện tích đáy + nắp: \(2\pi r^2\).
(c) Diện tích mặt xung quanh: \(\pi r^2 h\).
(d) Nếu \(r=0.5\) m, thì \(h=\dfrac{1}{\pi\cdot(0.5)^2}= \dfrac{4}{\pi}\approx 1.273\). Khi đó, chi phí nắp + đáy lớn hơn 200 000 đ.

Lời giải chi tiết:

Thể tích: \[ V = \pi r^2h = 1. \] → (a) Đúng (Đ).
Diện tích đáy + nắp (2 hình tròn bán kính r): \[ A_{\text{đáy+nắp}} = 2 \times (\pi r^2). \] → (b) Đúng (Đ).
Diện tích xung quanh: \[ A_{\text{xq}} = 2\pi r h, \] chứ không phải \(\pi r^2 h\). (Lưu ý \(\pi r^2h\) là thể tích!). → (c) Sai (S).
Tính chi phí khi \(r=0.5\) m, \(h=\tfrac{4}{\pi}\approx1.273\): - Đáy + nắp: diện tích = \(2\pi(0.5)^2=2\pi\times0.25=0.5\pi\approx1.57\) m². - Chi phí đáy+nắp = 1.57 × 200 000 đ ≈ 314 000 đ, > 200 000 đ. → (d) “Lớn hơn 200 000 đ” → Đúng (Đ).

Kết luận:

(a) Đ, (b) Đ, (c) S, (d) Đ.

BÀI 4 (KHÓ)
Đề bài:

Một công ty thiết kế bể chứa “nửa hình trụ” (nằm ngang) làm hồ cảnh. Hình này gồm: - Đáy phẳng (hình chữ nhật) có chiều dài \(L\), chiều rộng \(2R\) (vì “bán kính” nửa trụ là \(R\)). - Nửa “thân trụ” hình bán nguyệt ở trên (bán kính \(R\), chiều dài \(L\)). Thể tích yêu cầu 2 m³. Giả sử:

Phần đáy phẳng: chi phí 300 000 đ/m².
Phần “nửa trụ” xung quanh (tức mặt cong) + mặt hai đầu hình bán nguyệt: chi phí 200 000 đ/m².

(a) Gọi diện tích nửa hình trụ (mặt cong) là \(\pi R L\).
(b) Thể tích nửa trụ (nằm ngang) là \(\frac{1}{2}\pi R^2 L\).
(c) Nếu \(L=1\) m, \(R\) phải thỏa \(\tfrac12 \pi R^2 \cdot 1=2\). Suy ra \(R=\sqrt{\tfrac4\pi}\).
(d) Chi phí đáy khi \(L=2\) m, \(R=1\) m là 600 000 đ.

Lời giải chi tiết:

Diện tích nửa hình trụ (mặt cong): - Hình trụ đầy đủ (mặt cong) có diện tích \(2\pi R \cdot L\). Một nửa thì = \(\pi R L\). ⇒ (a) Đúng (Đ).
Thể tích nửa trụ: - Thể tích trụ đầy đủ: \(\pi R^2 L\). Nửa trụ ⇒ \(\frac12 \pi R^2 L\). ⇒ (b) Đúng (Đ).
Trường hợp \(L=1\): \[ \frac12 \pi R^2 \cdot 1=2 \implies \pi R^2=4 \implies R^2=\frac4\pi \implies R=\sqrt{\frac4\pi} = \frac2{\sqrt{\pi}}. \] ⇒ (c) Đúng (Đ).
Chi phí đáy khi \(L=2\), \(R=1\): - Đáy là hình chữ nhật “dài \(L=2\), rộng \(2R=2\)” → Diện tích = \(2\times2=4\) m². - Đơn giá đáy = 300 000 đ/m² → 4 m² × 300 000 = 1 200 000 đ, không phải 600 000 đ. ⇒ (d) Sai (S).

Kết luận:

(a) Đ, (b) Đ, (c) Đ, (d) S.

BÀI 5 (KHÓ)
Đề bài:

Một bồn chứa dạng “hình hộp đứng + nửa mái vòm” (thường thấy trong các kiến trúc nhà kính) có:

Phần hộp: chiều cao \(h\), đáy và nóc đều hình tròn bán kính \(r\), dung tích phần hộp = \(\pi r^2 h\).
Phần mái vòm: nửa khối cầu bán kính \(r\), dung tích = \(\tfrac{2}{3}\pi r^3\). (Vì khối cầu bán kính r có thể tích \(\tfrac43\pi r^3\), nửa cầu là \(\tfrac23\pi r^3\).)

Yêu cầu tổng dung tích 8 m³. Vật liệu:

Phần hộp (xung quanh + đáy) có chi phí 100 000 đ/m². (Giả sử nắp trên bị thay thế bởi mái vòm)
Phần mái vòm (nửa quả cầu) có chi phí 150 000 đ/m².

(a) Phương trình dung tích: \(\pi r^2h + \tfrac{2}{3}\pi r^3 = 8\).
(b) Diện tích phần hộp (xung quanh + đáy): \(2\pi r^2 + 2\pi r h\).
(c) Diện tích phần mái vòm: \(2\pi r^2\).
(d) Nếu \(r=1\) m, để được 8 m³ thì \(h = 8 - \tfrac23\pi\). Khi ấy, diện tích xung quanh hộp là \(2\pi\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình dung tích: \[ V_\text{hộp} + V_\text{nửa cầu} = \pi r^2h + \frac23\pi r^3 = 8. \] ⇒ (a) Đúng (Đ).
Diện tích phần hộp: - Xung quanh: chu vi đáy × chiều cao = \(2\pi r \cdot h\). - Đáy: \(\pi r^2\). - Tổng: \(\pi r^2 + 2\pi r h\). Không phải “2\(\pi r^2\) + 2\(\pi r h\)”. ⇒ (b) Sai (S) (vì “+ đáy” chỉ 1 đáy, không 2 đáy).
Diện tích nửa mái vòm (nửa quả cầu): - Diện tích cầu bán kính r: \(4\pi r^2\). Nửa cầu → \(2\pi r^2\). ⇒ (c) Đúng (Đ).
Trường hợp \(r=1\) m: \[ \pi(1)^2\cdot h + \tfrac23\pi (1)^3 = 8 \implies \pi h + \tfrac23\pi = 8 \implies \pi h = 8 - \tfrac23\pi \implies h = \frac{8 - \tfrac23\pi}{\pi} = \frac{8}{\pi} - \tfrac23. \] - Diện tích xung quanh hộp = chu vi đáy × chiều cao = \(2\pi\cdot1 \times h = 2\pi \left(\frac{8}{\pi} - \tfrac23\right) = 16 - \tfrac{4\pi}{3}\). Không phải \(2\pi\). ⇒ (d) Sai (S).

Kết luận:

(a) Đ, (b) S, (c) Đ, (d) S.