BÀI 1 (DỄ)
Đề bài:

Một trạm radar đặt trên một ngọn đồi được quy ước làm gốc toạ độ \(O(0,0,0)\) trong hệ \(Oxyz\), với trục \(Ox\) hướng về phía đông, trục \(Oy\) hướng về phía bắc, trục \(Oz\) hướng thẳng lên cao. Giả sử có một máy bay ở vị trí \(A\) có toạ độ \((10,0,1)\) (đơn vị km). Radar này có tầm quét bán kính 15 km trong không gian 3D.

1. (a) Máy bay nằm trên mặt phẳng toạ độ \(x\)-\(z\) của hệ.
2. (b) Máy bay cách gốc \(O\) đúng 10 km.
3. (c) Radar chưa bắt được máy bay vì máy bay đang ở ngoài bán kính 15 km.
4. (d) Tọa độ \(A\) mô tả máy bay ở cao 1000 m (tức 1 km), cách đông 10 km so với trạm và ở đúng hướng đông-bắc.

Lời giải chi tiết:

1. Mặt phẳng \(x\)-\(z\): Nếu \(y=0\), điểm đó nằm trên mặt phẳng \(x\)-\(z\). Ở A, \(y=0\) nên quả thật nó nằm trong mặt phẳng \(x\)-\(z\). ⇒ (a) Đúng (Đ).
2. Khoảng cách \(OA\): \[ OA=\sqrt{10^2 +0^2 +1^2}=\sqrt{100+1}= \sqrt{101}\approx10.05. \] Không phải đúng 10, mà \(\approx10.05\). ⇒ (b) Sai (S).
3. So với bán kính radar 15 km: \(\sqrt{101}\approx10.05 <15\). Máy bay đang ở trong vùng quét. ⇒ (c) Sai (S).
4. Tọa độ A = (10,0,1): - “cao 1000 m” = 1 km, đúng. - “cách đông 10 km so với trạm” = \(x=10\), hợp lý. - “ở đúng hướng đông-bắc” thì phải có \(x>0\) và \(y>0\) (để tạo góc đông-bắc). Nhưng \(y=0\) ⇒ chỉ đúng hướng đông, không đông-bắc (cần y>0). ⇒ (d) Sai (S).

Kết luận:

(a) Đ, (b) S, (c) S, (d) S.

---

BÀI 2 (TRUNG BÌNH)
Đề bài:

Sân bay A được chọn làm gốc toạ độ \(O(0,0,0)\), trục \(Ox\) hướng đông, trục \(Oy\) hướng bắc, trục \(Oz\) hướng lên cao. Một máy bay vận tải nặng đang tiếp cận, ở vị trí \(M\) cách sân bay 50 km về đông, 40 km về bắc, và cao 2 km so với mặt đất. Hỏi:

1. (a) Tọa độ máy bay \(M\) là \((50,40,2)\) (đơn vị km).
2. (b) Khoảng cách từ \(O\) đến \(M\) là \(\sqrt{50^2 +40^2 +2^2}= \sqrt{4144}\).
3. (c) \(\sqrt{4144}\approx64.36\) km.
4. (d) Nếu tầm quét radar là 70 km, thì lúc này radar chưa thể “bắt” máy bay.

Lời giải chi tiết:

1. Toạ độ M: “cách 50 km về đông, 40 km về bắc, cao 2 km” ⇒ \(M(50,40,2)\). ⇒ (a) Đúng (Đ).
2. Khoảng cách \(OM\): \[ OM=\sqrt{50^2 +40^2 +2^2}=\sqrt{2500 +1600 +4}= \sqrt{4104}. \] Không phải 4144, mà 4104. ⇒ (b) Sai (S).
3. \(\sqrt{4104}\approx64.06\) chứ không phải 64.36. ⇒ (c) Sai (S).
4. 64.06 <70 ⇒ máy bay đã nằm trong vùng quét (chưa “chưa thể bắt” là sai). ⇒ (d) Sai (S).

Kết luận:

(a) Đ, (b) S, (c) S, (d) S.

---

BÀI 3 (TRUNG BÌNH)
Đề bài:

Một tàu tuần tra bờ biển chọn trục toạ độ sao cho gốc \(O\) đặt tại cảng, trục \(Ox\) hướng về đông, \(Oy\) hướng về bắc, \(Oz\) hướng lên cao. Một trực thăng cất cánh, bay lên vị trí \(H\) sao cho:

• Trực thăng ở cách cảng 60 km về phía đông-bắc,
• Góc phương vị (so với trục Ox) là 45°, nghĩa là \(x=y\) trong mặt phẳng ngang,
• Cao 2 km so với mực nước biển.

(a) Tọa độ \(H\) là \((30,30,2)\).
(b) Máy bay cách \(O\) đúng 60 km nên \(\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}= 60\).
(c) Giả sử tầm quét radar = 55 km (tính theo không gian 3D), thì lúc này radar không bắt được máy bay.
(d) Nếu thay độ cao lên 4 km, trong khi \(x=y=30\), thì khoảng cách đến \(O\) là \(\sqrt{30^2 +30^2 +4^2}= \sqrt{900+900+16}= \sqrt{1816}\).

Lời giải chi tiết:

1. Toạ độ \(H\): - “60 km về phía đông-bắc” trong mặt phẳng ngang, góc 45° → \(x=y\) → \(x^2 + y^2= (60^2 - z^2)\) nếu kể chiều cao. - Chiều cao = 2. => Trong mặt phẳng \(z=2\), ta còn \(\sqrt{x^2 +y^2}= \sqrt{60^2 -2^2}=\sqrt{3600-4}= \sqrt{3596}=59.9666... \approx60.\) - Nếu góc 45° ⇒ \(x=y\). \[ x^2 +x^2= (59.9666)^2 \implies 2x^2\approx(59.9666)^2 \implies x\approx \frac{59.9666}{\sqrt2}\approx42.4. \] - (30,30,2) chỉ cho \(\sqrt{30^2+30^2+2^2}= \sqrt{900+900+4}= \sqrt{1804}=42.48\), <60. => Mệnh đề (a) nói \((30,30,2)\) “cách O 60 km” là sai. (Nó ~42.48)
2. (b) \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}=60\): Đúng về ý nghĩa “máy bay cách O=60km”. ⇒ (b) Đúng (Đ) (vì câu này chỉ mô tả công thức).
3. (c) Tầm quét 55 km: - Thực tế, máy bay 60 km away (theo bài). 60 >55 ⇒ radar không quét được. ⇒ “Không bắt được” là Đúng. ⇒ (c) Đúng (Đ).
4. (d) Khi z=4, x=y=30: \[ \|OH\|= \sqrt{30^2 +30^2 +4^2} = \sqrt{900+900+16} = \sqrt{1816}. \] 1816 = 900+900+16 =1816, \(\sqrt{1816}\approx42.61. ⇒ (d) ghi \(\sqrt{1816}\) là chính xác. ⇒ (d) Đúng (Đ).

Kết luận:

(a) S, (b) Đ, (c) Đ, (d) Đ.

---

BÀI 4 (KHÓ)
Đề bài:

Một tháp kiểm soát không lưu ở sân bay T (chọn làm gốc toạ độ \(O(0,0,0)\), đỉnh tháp có chiều cao 70 m ⇒ \(Oz\) hướng lên). Giả sử có hai máy bay, \(A\) và \(B\), đang ở các toạ độ:

• \(A\bigl(3,4,2.07\bigr)\) (đơn vị km),
• \(B\bigl(-5,12,0.04\bigr)\) (km),

Radar tháp kiểm soát có tầm quét bán kính 15 km (tính không gian 3D) so với đỉnh tháp, nghĩa là ta phải tính khoảng cách đến \(\bigl(0,0,0.07\bigr)\) (vì đỉnh tháp cao 70 m).

1. (a) Tọa độ đỉnh tháp trong hệ đã chọn là \((0,0,0.07)\) (đơn vị km).
2. (b) Máy bay \(A\) cách đỉnh tháp khoảng \(\sqrt{3^2+4^2+(2.07-0.07)^2}\).
3. (c) Máy bay \(B\) nằm ngoài vùng quét 15 km của tháp.
4. (d) Máy bay \(A\) nằm trong vùng quét.

Lời giải chi tiết:

1. Đỉnh tháp: 70 m = 0.07 km, ⇒ toạ độ \((0,0,0.07)\). ⇒ (a) Đúng (Đ).
2. Khoảng cách đỉnh tháp đến A: \[ d(A,\text{đỉnh}) = \sqrt{(3-0)^2 +(4-0)^2 +(2.07-0.07)^2} = \sqrt{9 +16 + (2.0)^2} = \sqrt{9+16+4} = \sqrt{29} \approx5.385. \] ⇒ (b) nêu đúng biểu thức. Đúng (Đ).
3. Khoảng cách đỉnh tháp đến B: \[ d(B,\text{đỉnh}) = \sqrt{(-5)^2 +12^2 + (0.04-0.07)^2} = \sqrt{25 +144 +0.001^2} = \sqrt{169 +0.000001} \approx13.0 (rất gần \sqrt{169}=13). \] 13 <15, nên B vẫn trong vòng 15 km. ⇒ “nằm ngoài” là Sai. ⇒ (c) Sai (S).
4. Máy bay A cách đỉnh ~ \(\sqrt{29}\approx5.385<15\), ⇒ A trong vùng quét. ⇒ (d) Đúng (Đ).

Kết luận:

(a) Đ, (b) Đ, (c) S, (d) Đ.

---

BÀI 5 (KHÓ)
Đề bài:

Hai sân bay P và Q (cùng mặt đất) được đặt trong hệ trục \(Oxyz\) sao cho \(O\) là một mốc khác (ví dụ, trung tâm vùng), trục \(Oz\) lên cao, \(Ox,Oy\) theo đông-bắc. Giả sử:

• Sân bay P nằm ở toạ độ \((20,10,0)\) km,
• Sân bay Q ở \(( -5,30,0)\) km.
• Một máy bay R ở \(\bigl(0,0,10\bigr)\) km (ngay trên mốc O, cao 10 km).

Radar của P có tầm 40 km, radar của Q có tầm 35 km. Hỏi:

1. (a) R cách P: \(\sqrt{(0-20)^2 +(0-10)^2 +(10-0)^2}\approx \sqrt{400+100+100}= \sqrt{600}=24.49\) km.
2. (b) R cách Q: \(\sqrt{(0+5)^2 +(0-30)^2 + (10-0)^2}= \sqrt{25 +900 +100}= \sqrt{1025}\approx32.01\) km.
3. (c) R nằm trong tầm radar của cả 2 sân bay P và Q.
4. (d) Nếu R hạ độ cao xuống 5 km vẫn giữ toạ độ \((x,y)\) = (0,0), khi ấy cự ly tới Q là \(\sqrt{1025 -25}=\sqrt{1000}\).

Lời giải chi tiết:

1. Khoảng cách R-P: \[ d(R,P)=\sqrt{(-20)^2 +(-10)^2 +(10)^2} =\sqrt{400+100+100} =\sqrt{600}\approx24.49. \] ⇒ (a) Đúng (Đ).
2. Khoảng cách R-Q: \[ d(R,Q)=\sqrt{(0+5)^2 +(0-30)^2 +(10-0)^2} =\sqrt{25 +900 +100} =\sqrt{1025}\approx32.0156... \] ⇒ (b) ~32.02. Đúng (Đ).
3. Tầm radar: - P: 40 km, R-P ≈24.49 <40 ⇒ trong tầm. - Q: 35 km, R-Q ≈32.02 <35 ⇒ cũng trong tầm. ⇒ (c) “trong tầm cả 2” → Đúng (Đ).
4. Khi R hạ độ cao 5 km: toạ độ (0,0,5). \[ d\bigl((0,0,5),Q\bigr) = \sqrt{(0+5)^2 +(0-30)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{25 +900 +25} = \sqrt{950}=30.82..., \] không phải \(\sqrt{1000}\). (Cách ghi “\(\sqrt{1025-25}=\sqrt{1000}\)” là sai vì ta không chỉ trừ 5^2 =25, phải tính cẩn thận). ⇒ (d) Sai (S).

Kết luận:

(a) Đ, (b) Đ, (c) Đ, (d) S.