Bài tập: Cho hai hàm số \( y = f(x) \), \( y = g(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \), có đồ thị của hàm số \( y = f'(x) \) và \( y = g'(x) \) như hình vẽ. Đặt \( h(x) = f(x) - g(x) \). Khi đó, \(\min h(x)\) trên \([a, c]\) bằng:

Lời giải

\(h'(x) = f'(x) - g'(x) = 0 \implies \) hoặc \(x = a\) hoặc \(x = b\) hoặc \(x = c\)
 

\( \Rightarrow \min h(x)\) trên \([a, c] = h(b)\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

Lời giải

\(\int_a^c h'(x) \, dx = \int_a^c \big( f'(x) - g'(x) \big) \, dx = \int_a^b + \int_b^c = -S_1 + S_2 < 0.\)

\(\implies h(c) - h(a) < 0 \implies h(c) < h(a)\)

\(\max h(x) \text{ trên } [a, c] = h(a)\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)

page 49

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \), có đồ thị của hàm số \( y = f'(x) \) như hình vẽ. Xét hàm số: \( g(x) = f(x) - \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{4} + \frac{3x}{2} + 1. \) Khi đó, \(\min g(x)\) trên \([-3, 1]\) bằng:

Lời giải

\(g'(x) = f'(x) - x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} = 0 \implies  \) \( \Leftrightarrow\) hoặc \(x = -3\) hoặc \(x = -1 \) hoặc \(x = 1  \)
 

\(\min g(x) \text{ trên } [-3, 1] = g(-1)\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 50

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \). Biết đồ thị \( y = f'(x) \) có đồ thị như hình vẽ và \( f(a) = 0 \), \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.\) . Số nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \) là:

Lời giải

\(\int_a^c f'(x) \, dx = f(c) - f(a) = \int_a^b f'(x) \, dx + \int_b^c f'(x) \, dx\)

\(
= S_1 - S_2 < 0 \implies f(c) < f(a) = 0 \implies f(c) < 0
\)

Suy ra, phương trình \( f(x) = 0 \) có 3 nghiệm

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 51

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \), \( a \neq 0 \), có đồ thị \( (C) \) tiếp xúc trục hoành tại \( y = 4 \) tại điểm có hoành độ âm. Đồ thị của hàm số \( y = f'(x) \) cho bởi hình vẽ dưới. Tính diện tích \( S \) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \( (C) \) và trục hoành:

Lời giải

\(f'(x) = k(x^2 - 1), \quad f'(0) = -3 \implies k = 3.\)

\(\implies f'(x) = 3x^2 - 3 \implies f(x) = \int f'(x) \, dx = x^3 - 3x + C.\)
 

(C) tiếp xúc với đường thẳng  y = 4  tại điểm có hoành độ âm:

\( \Leftrightarrow f(-1) = 4 \implies (-1) + 3 + C = 4 \implies C = 2\)

\( \Rightarrow f(x) = x^3 - 3x + 2\)

\(f(x) = 0 \implies x^3 - 3x + 2 = 0 \implies (x - 1)(x^2 + x - 2) = 0\)

\(\implies  ( x-1)^2 (x+2) = 0 \Leftrightarrow
\begin{cases}  
x = 1 \\  
x = -2  
\end{cases}\)

\(S = \int_{-2}^1 |f(x)| \, dx = \int_{-2}^1 (x^3 - 3x + 2) \, dx = \frac{27}{4}\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 52

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) và các số thực \( a, b, c, d \) thỏa mãn \( 0 < a < b < c < d \). Biết hàm số \( y = f''(x) \) có đồ thị như hình vẽ và \(f'(0) = 1, \quad f'(a) < 0.\)  Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải

 \( S_1 = f'(0) - f'(a) \):   \(\int_a^0 f''(x) \, dx > 0 \implies f'(0) > f'(a) = 1 > 0\)

\( S_2 = f'(b) - f'(a) \):   \(\int_a^b f''(x) \, dx < 0 \implies f'(b) < f'(a) < 0\)

 \( S_3 = f'(b) - f'(c) \):   \(\int_c^b f''(x) \, dx < 0 \implies f'(b) < f'(c) < 0\)

 \( S_4 = f'(d) - f'(c) \):   \(\int_c^d f''(x) \, dx > 0 \implies f'(d) > f'(c) > 0\)

Suy ra, đồ thị hàm số \( y = f'(x) \) có 2 cực đại và 2 cực tiểu

\(\implies \) Hàm f có 2 cực tiểu và 2 cực đại

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 53