Bài tập: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 m, độ dài trục bé 10 m. Ông muốn trồng hoa trên dải đất rộng 8 m ở nhánh trục bé của elip làm trục đối xứng (xem hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/m². Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)?     
                                                                    (Đề thử nghiệm 2017)        

Lời giải

•   \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)  
•   \( \frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{25} = 1 \)

\( \Leftrightarrow y^2 = 25 \left( 1 - \frac{x^2}{64} \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
y = 5 \sqrt{1 - \frac{x^2}{64}} \\
y = -5 \sqrt{1 - \frac{x^2}{64}}
\end{array} \right. \)
 
\( S = 2 \int_{-4}^4 5 \sqrt{1 - \frac{x^2}{64}} \, dx = 76,5289182 \)

\( T = 76,5289182 \times 100.000 \, \text{(đồng)}= 7.652.891 \, \text{(đồng)} \approx 7.653.000 \, \text{(đồng)}\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 54

Bài tập: Cho đường tròn (C) có phương trình: \( (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4. \)  
Đường thẳng \( x = 2 \) chia hình tròn thành 2 phần có diện tích \( S_1, S_2 \) như hình vẽ. Tính \( S_1 \)

Lời giải

* \( (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4 \Rightarrow (y - 3)^2 = 4 - (x - 1)^2  \)

\( \Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
y - 3 =  \sqrt{4 - (x - 1)^2}\\
y - 3 = - \sqrt{4 - (x - 1)^2}
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
y = 3 + \sqrt{4 - (x - 1)^2} \\
y = 3 - \sqrt{4 - (x - 1)^2}
\end{array} \right.\)

\( S_1 = 2 \int_{-1}^2 \left( 3 + \sqrt{4 - (x - 1)^2} - 3 \right) \, dx = 2 \int_{-1}^2 \sqrt{4 - (x - 1)^2} \, dx \)

      \(  = 10,10963222 = \frac{8\pi}{3} + \sqrt{3} \)

\(( S_1 = 2S_3 = \dots) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 55

Lời giải

•  Phương trình chuyển động: \( s = s(t) \) 
•  Vận tốc chất điểm: \( v = v(t) = s'(t) \)
•  Gia tốc của chất điểm: \( a = a(t) = v'(t) \)

•  \( v(t) = \int a(t) \, dt = \int (t^2 + 4t) \, dt = \frac{t^3}{3} + 2t^2 + C\)  

•  \( v(0) =15 \Leftrightarrow C = 15 \)  

•  \( v(t) = \frac{t^3}{3} +2 t^2+ 15 \)

•   \( s(t) = \int v(t) \, dt =  \frac{t^4}{12} + \frac{2t^3}{3} + 15t + C\)  

 \( s(0) = 0 \Rightarrow c = 0\)

•  \( s(0) = \frac{t^4}{12} + \frac{2t^3}{3} + 15t \Rightarrow s (3) =  \frac{279}{4} = 69,75  \)m

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 56

Lời giải

• \( v(t) = \int a(t) \, dt = \frac{t^3}{3} + \frac{3t^2}{2} + C \)  

•  \( t = 0 \), \( v(0) = 10  \implies C = 10 \)  

• \( v(t) = \frac{t^3}{3} + \frac{3t^2}{2} + 10\)

•  \( s(10) = \int_0^{10} \left( \frac{t^3}{3} + \frac{3t^2}{2} + 10 \right) \, dt  = \frac{4300}{3} \, \text{m}\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)

page 57

Lời giải

* \( v(t) = \int \frac{-20}{(1+2t)^2} dt = \frac{10}{1+2t} + C \)  

\( v(0) = 30 \Rightarrow C = 20 \)  

\( v(t) = \frac{10}{1+2t} + 20 \)  

* \( S(t) = \int \left( \frac{10}{1+2t} + 20 \right) dt = 5 \ln |1+2t| + 20t + C \)  

\( S(0) = 0  \Rightarrow  C = 0 \)

\( S(t) = 5 \ln |1+2t| + 20t \)  

\( S(2) = 5 \ln 5 + 40 \approx 48,047 \Rightarrow S \approx 48 \) m  

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 58