Thể tích của vật thể tròn xoay

* Xét hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị \( y = f(x) \), \( x = a \), \( x = b \) và \( Ox \)
Quay hình phẳng này quanh trục \( Ox \) tạo thành một vật thể tròn xoay. Thể tích của vật thể tròn xoay này là:

                 \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx = \pi \int_{a}^{b} y^2 \,dx \)

* Xét đồ thị cong \( x = g(y) \), hàm \( g(y) \) liên tục trên \([a, b]\) và các 
đồ thị \( y = a \), \( y = b \) và \( x = 0 \). Hình phẳng giới hạn bởi 4 đồ thị trên
quay quanh \( Oy \) tạo thành một vật thể tròn xoay có thể tích.

                \( V = \pi \int_{a}^{b} x^2 \, dy = \pi \int_{a}^{b} [g(y)]^2 \, dy. \)

page 64

---

* Vấn đề:

Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng sau quay quanh \( Ox \) tạo nên.

                                 

        \( V = \pi \int_{a}^{b} \left[ (f(x))^2 - (g(x))^2 \right] dx. \)

b) Quay quanh \( Oy \)

        \( V = \pi \int_{a}^{b} \left[ (g(y))^2 - (f(y))^2 \right] dy \)

page 65

---

 

*  Nhắc lại đồ thị của một số hàm số cần lưu ý 

1) \( y = a^x \)

2) \( y = \log_a x \)
 

page 66

---

3) \( y = \sqrt{a^2 - x^2} \)                             \( y = -\sqrt{a^2 - x^2} \)                        \( a > 0 \)

    \( \Leftrightarrow \begin{cases} y \geq 0 \\ x^2 + y^2 = a^2 \end{cases} \)                    \(\begin{cases} y \leq 0 \\ x^2 + y^2 = a^2 \end{cases} \)

 

4) \( y = b \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \)                              \( y = -b \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \)                    \( a, b > 0 \)

    \( \Leftrightarrow \begin{cases} y \geq 0 \\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{cases} \)                      \(\begin{cases} y \leq 0 \\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{cases} \)

page 67

---

                                                                     (2014.A)

Lời giải

  \( x^2 - x + 3 = 2x + 1 \)  \( \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \)   \( \Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x = 1 \\
x = 2
\end{array} \right. \)

  \( S = \int_{1}^{2} \left[ (x^2 - x + 3) - (2x + 1) \right] dx \)   \( = \int_{1}^{2} |x^2 - 3x + 2| dx \)  
      \( = \left| \int_{1}^{2} (x^2 - 3x + 2) dx \right| \)   \( = \left| \left( \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right) \Big|_{1}^{2} \right| \)  
      \( = \frac{1}{6} \)

page 68

---

                                                           (Tốt nghiệp PT 2006)

Lời giải

Cách 1: ( Vẽ hình)

\( S = \int_{\ln 2}^{1} (e^x - 2) dx = e^x - 2x \bigg|_{\ln 2}^{1} = (e - 2) - (2 - 2\ln 2) = e - 4 + 2\ln 2 \) (bấm = 0.104576...)

Cách 2: ( Không vẽ hình):  

\( e^x = 2  \Rightarrow x = \ln 2 \)

\( S = \int_{\ln 2}^{1} |e^x - 2| dx = | \int_{\ln 2}^{1} (e^x - 2) dx| = 0,104576 \)

    \( = | ( e^x - 2x) \bigg|_{\ln 2}^{1}| =  \left| (e - 2) - (2 - 2\ln 2) \right| \)

    \(= e - 4 + 2\ln 2 = 0.104576 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 69

---

                                                                (ĐHSP HN 2000 B-Đ)

\( S = \int_{0}^{1} \left( 3 - (x^2 - 4x + 3) \right) dx     + \int_{1}^{3} \left( 3 - (x^2 - 4x + 3) \right) dx    + \int_{3}^{4} \left( 3 - (x^2 - 4x + 3) \right) dx  \)

   \( = 8 \) (đvdt)

page 70

---

                                                                        (ĐHSP HN 2000)  

\( |x^2 - 1| = |x| + 5 \)  
*  \( x > 1 \Rightarrow x = 3 \)  
*  \( x < -1 \Rightarrow x = -3 \)  
*  \( -1 \leq x \leq 1 \): không thỏa phương trình

\( S = 2 \int_{0}^{3} \left[ (|x| + 5) - (|x^2 - 1|) \right] dx \)\( = 2 \left[ \int_{0}^{3} (x + 5) \,dx - \int_{0}^{3} |x^2 - 1| \,dx \right] \)

   \( = 2 \left[ \int_{0}^{3} (x + 5) dx - \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx - \int_{1}^{3} (x^2 - 1) dx \right] = \frac{73}{3} \) (đvdt)  

 

* Khỏe hơn!
\( |x^2 - 1| - |x| - 5 = 0 \)  → Shift → Solve  → \( \Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x = 3 \\
x = -3
\end{array} \right. \) 

\( S = |\int_{-3}^{3} (|x^2 - 1| - |x| - 5) dx| \) (Bấm máy đợi 30") \( = 24.33333 \)

    \( = \frac{73}{3} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)