Áp dụng tích phân tính diện tích và thể tích

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Áp dụng tích phân tính diện tích và thể tích - bài tập phần 2

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 đường: \( y = \frac{1}{\cos^2 x}, \, y = \frac{1}{\sin^2 x}, \, x = \frac{\pi}{6}, \, x = \frac{\pi}{3}\)

Lời giải

+ \( x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]: \quad \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} \iff \sin x = \cos x \iff x = \frac{\pi}{4}\)

\(S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left| \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right| dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \left| \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right| dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \left| \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right| dx\)

\(= \left| \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx \right| + \left| \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx \right| \)

\(= \Bigg| \left( \tan(x) + \cot(x) \right) \Big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \Big| + \Big| \left( \tan(x) + \cot(x) \right) \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \Bigg| \)

\(= \left| 2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}\right) \right|
+ \left| \left(\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) - 2 \right|\)

\(= 2 .\left( \frac{4\sqrt{3}}{3} - 2 \right) \) (đvdt)

* Bấm: \( \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left| \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right| dx = \text{(dùng máy tính, 35 giây)} \quad 0.618802\)

\(= \frac{8\sqrt{3}}{3} - 4 \approx 0.618802\)

page 09

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Diện tích của hình phẳng, phần

được gạch chéo, bằng:

\(\textbf{A. } \int_{-1}^{1} f(x) \, dx\)

\(\textbf{B. } \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{0}^{-1} f(x) \, dx\)

\(\textbf{C. } \int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{1}^{0} f(x) \, dx\)

\(\textbf{D. } \left| \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \right|\)

Lời giải

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 10

Bài tập: Đường gấp khúc ABC trong hình dưới là đồ thị của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \( [-2, 3]\). Tích phân \( \int_{-2}^{3} f(x) \, dx \) bằng:

\( A.4\) \( B.\frac{9}{2}\) \( C.\frac{7}{2}\) \( D.3\)

( Đề thi TNPT 2023, câu 37 Mã 101)

Lời giải

\(\int_{-2}^{3} f(x) \, dx = \int_{-2}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx\)

\( = 3 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 3\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \)

page 11

* Một số hình phẳng cần chú ý !

\(S = S_1 + S_2\)
\( = \int_{a}^{c} \left( f(x) - g(x) \right) dx + \int_{c}^{b} \left( f(x) - h(x) \right) dx\)

\(S = S_1 + S_2 + S_3\)

page 12

Bài tập: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \( y = x^2 - 2x + 2\) tiếp tuyến của nó tại điểm\( M(3, 5)\) và trục tung. ( SKG chuẩn)

\(A. S = 3\) \(B. S = 10\) \(C. S = 9\) \(D. S = 4\)

Lời giải

• \( f'(x) = 2x - 2\)

\( \triangle: y = f'(3)(x - 3) + 5\)

\( \triangle: y = 4x - 7\)

\( S = \int_{0}^{3} \left[ (x^2 - 2x + 2) - (4x - 7) \right] dx\)

\( = \int_{0}^{3} \left( x^2 - 6x + 9 \right) dx \)

\( = ( \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x ) \bigg|_{0}^{3} = 9\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 13