Áp dụng tích phân tính diện tích và thể tích

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Áp dụng tích phân tính diện tích và thể tích - bài tập phần 3

Bài tập: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị \( y = x^2 + 1 \), tiếp tuyến với đồ thị này tại \( M(2, 5) \), và trục Oy. (SGK)

Lời giải

• \( y' = f'(x) = 2x \)
• \( \Delta : y = f'(2)(x - 2) + 5 \iff y = 4x - 3 \)

\(S = \int_{0}^{2} \left[(x^2 + 1) - (4x - 3)\right] \, dx = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \, dx\)

\(= \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \Big|_{0}^{2} = \frac{8}{3} \, \text{(đvdt)}\)

Bấm:
\( \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \, dx = \frac{8}{3}\)

page 14

Bài tập: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \( y = -x^2 + 4x - 3 \) và các tiếp tuyến của nó tại \( A(0, -3) \) và \( B(3, 0) \). (SGK)

\( A. \frac{5}{4}\) \( B. \frac{9}{4}\) \( C. \frac{7}{4}\) \( D. \frac{3}{4}\)

Lời giải

\( f'(x) = -2x + 4 \)
• \( \Delta_1: y = f'(0)(x - 0) + f(0)\)
\( y = 4x - 3 \)

• \( \Delta_2: y = f'(3)(x - 3) + f(3) \Rightarrow y = -2(x - 3) + 0 \)
\(y = -2x + 6 \)

* \(\Delta_1 \cap \Delta_2: 4x - 3 = -2x + 6 \iff x = \frac{3}{2}\)

\( S = S_1 + S_2 = \int_{0}^{\frac{3}{2}} \left[(4x - 3) - (-x^2 + 4x - 3)\right] \, dx + \int_{\frac{3}{2}}^{3} \left[(-2x + 6) - (-x^2 + 4x - 3)\right] \, dx \)

\( = \int_{0}^{\frac{3}{2}} x^2 \, dx + \int_{\frac{3}{2}}^{3} \left[x^2 - 6x + 9\right] \, dx \)

\( = \frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{\frac{3}{2}} + \left(\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right) \Big|_{\frac{3}{2}}^{3} \)

\( = \frac{9}{4} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 15

2. Tính thể tích
a. Xét hình phẳng \( D \) giới hạn bởi 4 đường
\( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = a \), \( x = b \) (\( a < b \))

Quay hình phẳng \( D \) quanh Ox tạo nên một vật thể tròn xoay có thể tích là

\( V = \pi \int_{a}^{b} \left[f(x)\right]^2 \, dx \)

b) Xét hình phẳng giới hạn bởi 4 đường
\( y = f(x) \), \( y = g(x) \), \( x = a \), \( x = b \), với \( f(x) > 0 \), \( g(x) > 0 \), \(\forall x \in [a, b]\)

Quay hình phẳng này quanh Ox tạo nên vật thể tròn xoay có thể tích là

\( V = \pi \int_{a}^{b} | (f(x))^2 - (g(x))^2 |\, dx \)

Nếu \( f(x) = g(x) \) không có nghiệm thuộc \([a, b]\), thì

\( V = \pi \left| \int_{a}^{b} \left[ (f(x))^2 - (g(x))^2 \right] \, dx \right| \)

page 16

Bài tập: Cho hình phẳng \( D \) giới hạn bởi đường cong \( y = \sqrt{x^2 + 1} \), trục hoành và các đường thẳng \( x = 0 \), \( x = 1 \). Khối hình tròn xoay tạo thành khi quay \( D \) quanh trục hoành có thể tích \( V \) bằng

\( A. V = 2 \)

\( B. V = \frac{4\pi}{3} \)

\( C.V = \frac{4}{3} \)

\( D. V = 2\pi \)

Lời giải
\( V = \pi \int_{0}^{1} \left(x^2 + 1\right) \, dx = \pi \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \Big|_{0}^{1} \)

\(= \frac{4\pi}{3} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 17

Bài tập: Cho hình phẳng \( D \) giới hạn đường cong \( y = e^x \), trục hoành và các đường thẳng \( x = 0 \), \( x = 1 \). Khối tròn xoay được tạo thành khi quay \( D \) quanh trục hoành có thể tích \( V \) bằng

\( A. V = \frac{\pi \left(e^2 - 1\right)}{2} \)

\( B. V = \frac{e^2 - 1}{2} \)

\( C. V = \frac{\pi e^2}{2} \)

\( D. V = \frac{\pi \left(e^2 + 1\right)}{2} \)

Lời giải

\( V = \pi \int_{0}^{1} e^{2x} \, dx = \frac{\pi}{2}\cdot e^{2x} \Big|_{0}^{1} \)

\( V = \frac{\pi}{2} \left(e^2 - 1\right) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)

page 18