Lời giải

\( V = \pi \int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx = 2,256548\)

Đặt:  \( 
\begin{cases} 
u = x^2 \\ 
dv = e^x \, dx
\end{cases} 
\implies
\begin{cases} 
du = 2x \, dx\\
v = e^x 
\end{cases} 
\)

 \(  \pi \int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx = x^2 e^x \Bigg|_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x e^x \, dx  = e -2 \int_{0}^{1} x e^x \, dx \)

                           \(  = e -2 \left[x e^x \Bigg|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^x \, dx \right]= e - 2 \left[ e - e^x \bigg|_{0}^{1} \right] \)

                           \(  = e - 2[+ 1] = (e - 2 ) \)

\( \Rightarrow V = \pi (e - 2) \approx 2.256548 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 24

Lời giải 

\( x^2 + y^2 = 4 \)

\(\Leftrightarrow \quad y = \pm \sqrt{4 - x^2} \)

\( V = \pi \int_{-2}^1 \left( 4 - x^2 \right) dx \)

     \(  = \pi (4x - \frac{x^3}{3} ) \bigg|_{-2}^1 = 9\pi \)

⚠️  Nhiều học sinh nhầm \( V = 18\pi \) do nhân 2. Giải thích cho học sinh là không nhân 2!

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)

page 25

Lời giải

Phương trình \( x \ln x = 0 \) (\( x > 0 \)) \( \Leftrightarrow  x = 1 \)

 \( V = \pi \int_1^e x^2 (\ln x)^2 dx = 11,45281\)

Đặt: \( \begin{cases}
u = \ln^2 x\\
dv = x^2 dx
\end{cases}
\Rightarrow .......\)

\( V = ( 5e^3 - 2 ) \frac{\pi}{27}\approx 11,452581 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \)

page 26

* \( x^2 - 4x + 6 = -x^2 - 2x + 6 \implies 2x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array} \right. \)

\( V = \pi \int_0^1 \left[(-x^2 - 2x + 6)^2 - (x^2 - 4x + 6)^2\right] dx \)

     \(  = 3\pi \, (đvtt) \)

Cách 2: Không vẽ đồ thị

\( V = \pi \int_0^1 \Big| (x^2 - 4x + 6)^2 - (x^2 - 2x + 6)^2 \Big| \, dx \)

     \( = \pi | \int_0^1 \Big[ (x^2 - 4x + 6)^2 - (x^2 - 2x + 6)^2 \Big] \, dx| \)

     \( = 3\pi\)
 

page 27

\( x^2 = 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} \right. \)

\( V = \pi \int_0^2 (2x)^2 \, dx - \pi \int_0^2 (x^2)^2 \, dx = \frac{64\pi}{15} \)

\( V = \pi \int_{-1}^2 \Big[ (5 - x^2)^2 - (3 - x)^2 \Big] \, dx = \frac{153\pi}{5} \, (đvtt)\)

\( V = \pi \int_0^4 \Big[ (\sqrt{y})^2 - \Big(\frac{y}{2}\Big)^2 \Big] \, dy = \pi \int_0^4 \Big( y - \frac{y^2}{4} \Big) \, dy \)

     \( = \pi(\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{12}) \Big|_0^4 = \frac{8\pi}{3} \, (đvtt)\)

page 28