Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đồ thị như hình vẽ. Biết: \( S_1 = 2 \), \( S_2 = 9 \), \( S_3 = 10 \). Tính \(I = \int_{-2}^{3} f(x) \, dx\)

 Lời giải

 \( I = S_1 - S_2 + S_3 = 2 - 9 + 10 = 3 \)  

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

* Chuẩn bị cho bài sau
 

* \( S_1 = S_2 \Rightarrow \int_a^b f(x) \, dx = 0\)

page 39

Bài tập: Cho hàm số \( y = x^4 - 3x^2 + m \) có đồ thị \( (C_m) \) như hình vẽ.Gọi \( S_1, S_2, S_3 \) lần lượt là diện tích của các miền được gạch chéo. Tính \( m \) để \( S_1 + S_2 = S_3 \)

Lời giải

•  Gọi \( b \) là nghiệm lớn nhất của phương trình \( x^4 - 3x^2 + m = 0 \)

•  Nếu \( S_1 + S_2 = S_3 \) thì \( \int_{0}^{b} \left( x^4 - 3x^2 + m \right) \, dx = 0\)

\( \Rightarrow \frac{b^5}{5} - b^3 + mb = 0 \Leftrightarrow \frac{b^4}{5} - b^2 + m = 0\) (1)

Mặt khác, \( b^4 - 3b^2 + m = 0 \) (2)

Từ (1) và (2), suy ra: \( \frac{4}{5} b^4 - 2b^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad b^2 = \frac{5}{2}\)

\( \Rightarrow m = 3b^2 - b^4 = \frac{5}{4}\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

* Cách 2: Thử!!!

page 40 

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \). Đồ thị của hàm số \( y = f'(x) \) được cho như hình vẽ. Biết diện tích \( S_1 = 2 \), \( S_2 = 5 \), và \( f(-2) = 3 \). Tính \( f(3) \)

Lời giải

\( \int_{-2}^{3} f'(x) \, dx = f(x) \big|_{-2}^{3} = f(3) - f(-2) = S_2 - S_1 \)

\( \Rightarrow f(3) - 3 = 5 - 2 \quad \Rightarrow \quad f(3) = 6 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 41

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và hàm số \( y = g(x) = x f(x^2) \) có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích vùng gạch chéo \( S = \frac{5}{2} \). Tính \( I = \int_{1}^{4} f(x) \, dx \)

Lời giải

• \( \int_{1}^{2} x f(x^2) \, dx = \frac{5}{2} \)

Đặt \( t = x^2 \), suy ra \( dt = 2x \, dx \)  
\( \begin{cases} x = 1 & \Rightarrow t = 1 \\ x = 2 & \Rightarrow t = 4 \end{cases} \)

\( \frac{5}{2} = \int_{1}^{2} x f(x^2) \, dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(t) \, dt = \frac{1}{2} I \Rightarrow I = 5 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \)

page 42

Bài tập: Cho hình thang cong (C) giới hạn bởi các đường \( y = e^x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = \ln 4 \). Đường thẳng \( x = k \) (\( 0 < k < \ln 4 \)) chia (C) thành 2 phần có diện tích \( S_1, S_2 \) như hình vẽ. Tính \( k \) để \( S_1 = 2S_2 \)

                                                   (Đề thi thử nghiệm 2017)

Lời giải

\( S_1 = \int_{0}^{k} e^x \, dx = e^x \big|_{0}^{k} = e^k - 1 \)

\( S_2 = \int_{k}^{\ln 4} e^x \, dx = e^x \big|_{k}^{\ln 4} = 4 - e^k\)

\( S_1 = 2S_2 \quad \iff \quad e^k - 1 = 2(4 - e^k) \iff 3e^k = 9 \)

\( \iff \quad e^k = 3 \quad \iff \quad k = \ln 3 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

Làm thêm: Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường \( y = \frac{1}{x} \), \( y = 0 \), \( x = \frac{1}{2} \), \( x = 2 \). Đường thẳng \( x = k \), với \( \frac{1}{2} < k < 2 \), chia (H) thành 2 phần có diện tích là \( S_1 \) và \( S_2 \) như hình vẽ. Tính tất cả giá trị của \( k \) để \( S_1 = 3S_2 \)

Lời giải 

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)

page 43