Ứng dụng của tích phân trong hình học

I. Tính diện tích hình phẳng
1. Hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành  

Giả sử hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên đoạn \([a, b]\) và \( f(x) > 0, \, \forall x \in [a, b] \). Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 đường : \( y = f(x) \),  trục hoành, các đường thẳng \( x = a, \, x = b \) là:  \( S = \int_a^b f(x) \, dx \)

•  Nếu \( f(x) \leq 0, \, \forall x \in [a, b] \), thì \(-f(x) > 0, \, \forall x \in [a, b] \). Khi đó: \( S = \int_a^b (-f(x)) \, dx. \)

\(S = S_1 + S_2 + S_3\)

    \(= \int_a^b f(x) \, dx - \int_b^c f(x) \, dx + \int_c^d f(x) \, dx\)

page 01

* Nếu đồ thị hàm \( f(x) \) không cắt trục hoành trong đoạn \([a, b]\) (nghĩa là \( f(x) = 0 \) không có nghiệm trong \([a, b]\)), thì:  
                                       \( \int_a^b |f(x)| \, dx = \left| \int_a^b f(x) \, dx \right|\)

* Nếu đồ thị hàm \( f(x) \) cắt đoạn \([a, b]\) tại \( x_1, x_2 \)  thì:  
                \( \int_a^b |f(x)| \, dx = \int_a^{x_1} |f(x)| \, dx + \int_{x_1}^{x_2} |f(x)| \, dx + \int_{x_2}^b |f(x)| \, dx\)

                                       \( = \left| \int_a^{x_1} f(x) \, dx \right| + \left| \int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx \right| + \left| \int_{x_2}^b f(x) \, dx \right| \)

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong  

\( S = \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx \)
 

\(S = S_1 + S_2 \)
    \( = \int_a^c (g(x) - f(x)) \, dx + \int_c^b (f(x) - g(x)) \, dx\)

page 02

page 03