Cực trị của hàm số - Lý thuyết và ví dụ
Cực trị của hàm số
Định nghĩa
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và liên tục trong khoảng \((a, b)\) (có thể \(a \) là \(-\infty \), \(b \) là \(+\infty\)) và điểm \(x_0\) thuộc khoảng \((a, b)\).
a) Nếu tồn tại số \(h > 0\) sao cho \(\forall x \in (x_0 - h, x_0 + h) \setminus \{x_0\} : f(x) < f(x_0)\) thì ta bảo hàm \( f\) đạt cực đại tại \(x_0\).
Khi đó:
- \(x_0\)gọi là điểm cực đại của hàm số \(y = f(x)\)
- \(M(x_0, f(x_0))\) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = f(x)\)
- \(f(x_0)\)gọi là giá trị cực đại của hàm số \(y = f(x)\)
Ký hiệu: \(f(x_0) = y_{CĐ}\)
b) Nếu tồn tại số \(h > 0\) sao cho \(\forall x \in (x_0 - h, x_0 + h) \setminus \{x_0\} : f(x) > f(x_0)\) thì ta bảo hàm \(f\) đạt cực tiểu tại \(x_0\).
Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
page 1
Ví dụ: Xét hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị
* Nhắc lại:
- Đồ thị của hàm \(f\) bị đứt tại điểm nào thì hàm \(f\) gián đoạn (không liên tục) tại hoành độ của điểm đó.
- Đồ thị hàm \(f\) bị gãy tại điểm nào thì hàm \(f\) không có đạo hàm tại hoành độ của điểm đó.
- \(f’(x)\) là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp xúc đồ thị hàm \(f\) tại điểm có hoành độ \(x_0\).
- Các đường thẳng cùng phương với \(Ox\) thì có hệ số góc bằng 0.
- Với đồ thị bên trên, hàm \( f \) đạt cực đại tại \(x_1\) và tại \(x_2\): \(f'(x_1) = 0, f'(x_2) = 0.\)
- Hàm \( f \) đạt cực tiểu tại \(x_2\) và \(x_4\): \( f'(x_4) = 0, f'(x_2)\) không tồn tại.
Suy ra:
page 2
Điều kiện để hàm số có cực trị
Định lý 1: Nếu hàm số \(y = f(x)\) đạt cực trị tại \(x_0\) và hàm \(f\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f'(x_0) = 0\).
Chú ý: Đảo của định lý này không đúng. Nghĩa là: nếu \(f'(x_0) = 0\) thì chưa chắc hàm \( f\) đạt cực trị tại \(x_0\).
Ví dụ: hàm số \(y = x^3\).
Định lý 2: Giả sử hàm số \( y = f(x)\) liên tục trong \((a, b)\) và \(x_0\) thuộc \((a, b)\).
a) Nếu khi x đi qua \(x_0\), \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương thì hàm \(f\) đạt cực tiểu tại \(x_0\).
b) Nếu khi x đi qua \(x_0\), \(f'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm thì hàm \(f\) đạt cực đại tại \(x_0\).
page 3
Lời giải:
- \(D = \mathbb{R}\)
- Đạo hàm:
\(y' = x^2 + 4x + 3 \)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left( x = -1, y = \frac{7}{3} \lor x = -3, y=-1 \right)\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = -3\) , giá trị cực đại \(y_{\text{CĐ}} = 1\), đạt cực tiểu tại \(x = -1\), giá trị cực tiểu \(y_{\text{CT}} = -1\).
page 4
Lời giải:
- \(D = \mathbb{R}\)
- Đạo hàm:
\(y' = x^4 - x^2 = x^2 (x^2 - 1)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \lor x = -1 \lor x = 1\)
Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = -1\), đạt cực tiểu tại \(x = 1\), không đạt cực trị tại \(x = 0\).
Làm thêm: Tìm cực trị của hàm số:
a) \(y = \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1}\)
b) \(y = \sqrt{x^2 - x + 1}\)
page 5
Lời giải:
- \(D = \mathbb{R}\)
- \(x^2 + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \lor x = -4\)
- \(|x^2 + 3x - 4| = \begin{cases} x^2 + 3x - 4 \text{ nếu } x < -4 \lor x > 1 \\ -(x^2 + 3x - 4) \text{ nếu } -4 \leq x \leq 1 \end{cases}\)
Do đó:
\(y = \begin{cases} 2x + 1 + x^2 + 3x - 4 \text{ nếu } x < -4 \lor x > 1 \\ 2x + 1 - x^2 - 3x + 4 \text{ nếu } -4 \leq x \leq 1 \end{cases}\)
\(y = \begin{cases} x^2 + 5x - 3 \text{ nếu } x < -4 \lor x > 1 \\ -x^2 - x + 5 \text{ nếu } -4 \leq x \leq 1 \end{cases}\)
Đạo hàm:
\(y' = \begin{cases} 2x + 5 \text{ nếu } x < -4 \lor x > 1 \\ -2x - 1 \text{ nếu } -4 < x < 1 \end{cases}\)
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = -4\) và \(x = 1\) (mặc dù hàm số không có đạo hàm tại x = -4 và x = 1). Hàm số đạt cực đại tại \(x = -\frac{1}{2}\)
(Hàm số đã cho không có đạo hàm tại x = 1 vì đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 1 không bằng nhau, với x = -4 cũng vậy).
Làm thêm: Tìm cực trị của hàm số \( y = 1 - x + \left| x^2 - 5x + 4 \right|\)
page 6
Nếu hàm \(f\) đạt cực đại tại \(x_0\) thì \(\begin{cases} f'(x_0) = 0 \\ f''(x_0) < 0 \end{cases}\)
Câu trả lời là sai.
Vì hàm số \(\)\(f(x) = - x^4\) đạt cực đại tại x = 0 nhưng \(\)\(f''(0) = 0\).
Nếu \(\begin{cases} f'(x_0) = 0 \\ f''(x_0) \ne 0 \end{cases}\) thì hàm \(f\) đạt cực trị tại \(x_0\)
Trả lời: Mệnh đề này đúng.
Nếu hàm \(f\) đạt cực trị tại \(x_0\) thì \(\begin{cases} f'(x_0) = 0 \\ f''(x_0) \ne 0 \end{cases}\)
Trả lời: Mệnh đề này sai.
Vì hàm số \(\)\(f(x) = - x^4\) đạt cực tiểu tại x = 0 mà \(\begin{cases} f'(0) = 0 \\ f''(0) = 0 \end{cases}\)
page 7
Định lý: Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm cấp hai trong khoảng \( \)\( (x_0 - h, x_0 + h), h > 0 \). Khi đó:
a) Nếu \(\begin{cases} f'(x_0) = 0 \\ f''(x_0) < 0 \end{cases}\) thì hàm \(f \)đạt cực đại tại \(x_0\)
b) Nếu \(\begin{cases} f'(x_0) = 0 \\ f''(x_0) > 0 \end{cases}\) thì hàm \(f\) đạt cực tiểu tại \(x_0\)
- Nếu \(f''(x_0) < 0\) thì bề lõm của đồ thị tại \(x_0\) quay về phía \(y < 0\) (quay xuống dưới)
- Nếu \(f''(x_0) > 0\) thì bề lõm của đồ thị tại \(x_0\) quay về phía \(y > 0\) (quay lên trên)
Một câu hỏi được đặt ra là: Nếu\( \begin{cases} f'(x_0) = 0 \\ f''(x_0) = 0 \end{cases}\) thì sao?
Câu trả lời là: Lúc này không thể kết luận gì về cực trị của hàm \(f\) tại \(x_0\).
Ví dụ:
Xét hàm số \(f(x) = x^4\)
- \(f'(x) = 4x^3\) và \(f''(x) = 12x^2\)
- \(f'(0) = 0\) và \(f''(0) = 0\)
Hàm \( f \) đạt cực tiểu tại \(x = 0\)
Hàm số \(\)\(g(x) = -x^4 \) có \( g'(0) = 0, g''(0) = 0 \) và hàm \(g \) đạt cực đại tại \(x = 0\).
page 8