Bài tập dạng trả lời ngắn.
5 BÀI TOÁN CÙNG DẠNG “TỐI ƯU HÓA LỢI NHUẬN” (CỰC TRỊ HÀM SỐ TRONG KINH TẾ)
Bài 1 (Dễ)
Đề bài:
Một cửa hàng bán một loại sản phẩm với:
- Doanh thu (Revenue) khi bán \( x \) sản phẩm: \[ R(x) = 50x - x^2 \quad (\text{đơn vị: nghìn đồng}). \]
- Chi phí (Cost) để sản xuất và bán \( x \) sản phẩm: \[ C(x) = 10x + 5. \]
Giả sử \( x \ge 0 \) (không sản xuất số âm) và \( x \) có thể là số thực (để đơn giản). Tìm \( x \) tối ưu để lợi nhuận \[ P(x) = R(x) - C(x) \] là lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
- Lập hàm lợi nhuận:
\[ P(x) = R(x) - C(x) = (50x - x^2) - (10x + 5) = 50x - x^2 - 10x - 5 = 40x - x^2 - 5. \]
- Tính đạo hàm và tìm điểm tới hạn:
\[ P'(x) = 40 - 2x. \] Đặt \( P'(x) = 0 \) suy ra \[ 40 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 20. \]
- Xét tính cực đại:
\[ P''(x) = -2 < 0, \] nên \( x = 20 \) cho cực đại.
- Kiểm tra biên:
\( x = 0 \Rightarrow P(0) = -5 \) (nhỏ hơn \( P(20) \)).
- Kết luận:
\( x = 20 \) là số sản phẩm tối ưu (nếu chấp nhận \( x \) thực). Tính lợi nhuận tối đa: \[ P(20) = 40 \cdot 20 - 400 - 5 = 800 - 405 = 395 \;(\text{nghìn đồng}). \]
Đáp số: Nên bán 20 sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất, đạt 395 (nghìn đồng).
Bài 2 (Trung bình – 1)
Đề bài:
Xét một doanh nghiệp có:
- Doanh thu: \[ R(x) = 200x - 3x^2. \] - Chi phí: \[ C(x) = 50x + 100 + x^2. \] Giả sử doanh nghiệp chỉ có khả năng sản xuất tối đa 60 sản phẩm (tức \( 0 \le x \le 60 \)). Hãy xác định \( x \) tối ưu để lợi nhuận \[ P(x) = R(x) - C(x) \] đạt cực đại.
Lời giải chi tiết:
- Hàm lợi nhuận:
\[ P(x) = (200x - 3x^2) - (50x + 100 + x^2) = 200x - 3x^2 - 50x - 100 - x^2 = 150x - 4x^2 - 100. \]
- Đạo hàm:
\[ P'(x) = 150 - 8x. \] Giải \( P'(x) = 0 \): \[ 150 - 8x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{150}{8} = 18.75. \]
- Kiểm tra tính cực đại:
\[ P''(x) = -8 < 0 \;\Rightarrow\; x=18.75 \text{ là điểm cực đại}. \]
- So sánh tại biên:
- \( x=0 \Rightarrow P(0) = -100 \).
- \( x=60 \Rightarrow P(60) = 150\cdot 60 - 4\cdot 60^2 -100 = 9000 - 14400 - 100 = -54100.\)
- Kết luận:
\( x = 18.75 \) (số thực) cho lợi nhuận tối đa. Nếu đòi hỏi \( x \) nguyên, có thể chọn \( x=19 \).
\[ P(18.75) \approx 1306.25. \]
Đáp số:
- Số thực: \( x \approx 18.75 \), lợi nhuận tối đa \(\approx 1306.25\).
- Số nguyên: \( x=19 \), lợi nhuận \(\approx 1306\).
Bài 3 (Trung bình – 2)
Đề bài:
Một xưởng dự định sản xuất \( x \) sản phẩm (trong khoảng \( 0 \le x \le 30 \)):
- Doanh thu: \[ R(x) = -2x^3 + 90x^2 + 200x. \]
- Chi phí: \[ C(x) = 50x^2 + 4000. \]
Hãy xác định số \( x \) để lợi nhuận \( P(x) = R(x) - C(x) \) đạt giá trị lớn nhất. Xét cả hai trường hợp \( x \) là số thực và \( x \) là số nguyên.
Lời giải chi tiết:
- Lập hàm lợi nhuận:
\[ P(x) = \bigl(-2x^3 + 90x^2 + 200x\bigr) - \bigl(50x^2 + 4000\bigr) = -2x^3 + 90x^2 + 200x - 50x^2 - 4000 = -2x^3 + 40x^2 + 200x - 4000. \]
- Tính đạo hàm:
\[ P'(x) = -6x^2 + 80x + 200. \] Giải \( P'(x)=0 \): \[ -6x^2 + 80x + 200 = 0 \;\Longrightarrow\; 6x^2 - 80x - 200 = 0. \] Áp dụng công thức bậc hai: \[ x = \frac{80 \pm \sqrt{80^2 - 4\cdot 6 \cdot(-200)}}{2\cdot 6} = \frac{80 \pm \sqrt{6400 + 4800}}{12} = \frac{80 \pm \sqrt{11200}}{12}. \] \(\sqrt{11200} \approx 105.9\). Có hai nghiệm: \[ x_1 \approx \frac{80 + 105.9}{12} \approx 15.49,\quad x_2 \approx \frac{80 - 105.9}{12} < 0 \ (\text{loại}). \]
- Kiểm tra cực đại:
\[ P''(x) = -12x + 80,\quad P''(15.49) < 0 \;\Rightarrow x=15.49 \text{ là cực đại}. \]
- So sánh giá trị tại biên \([0,30]\):
- \( P(0)=-4000\).
- \( P(30)\) âm.
Nên cực đại nằm trong (0,30) tại \( x\approx 15.49 \).
- Nếu \( x \) buộc là số thực: \( x \approx 15.49 \) cho \( P(x) \approx 1252 \).
Nếu \( x \) buộc là số nguyên: cần thử \( x=15 \) và \( x=16 \): \[ P(15) = -2(3375) +40(225) +200(15) -4000 = -6750 +9000 +3000 -4000 = 250, \] \[ P(16) = -2(4096) +40(256) +200(16) -4000 = -8192 +10240 +3200 -4000 = 56. \] Rõ ràng \( P(15)=250 \) là lớn hơn.
Đáp số:
- Số thực: \( x \approx 15.49 \), lợi nhuận \(\approx 1252\).
- Số nguyên: \( x=15 \), lợi nhuận \(\approx 250\).
Bài 4 (Khó – 1)
Đề bài:
Cho hàm doanh thu: \[ R(x) = 0.01x^3 + 500x - 2x^2, \] và chi phí bình quân (average cost) cho mỗi sản phẩm: \[ G(x) = 3x + 100 + \frac{5000}{x}. \] Tổng chi phí khi sản xuất \( x \) sản phẩm: \[ C(x) = x \cdot G(x) = 3x^2 + 100x + 5000. \] Biết rằng xưởng chỉ có khả năng sản xuất tối đa 200 sản phẩm (tức \( 1 \le x \le 200 \)). Hãy tìm \( x \) để tối đa hoá lợi nhuận \[ P(x) = R(x) - C(x). \]
Lời giải chi tiết:
- Hàm lợi nhuận:
\[ P(x) = \bigl(0.01x^3 + 500x - 2x^2\bigr) \;-\;\bigl(3x^2 + 100x + 5000\bigr) = 0.01x^3 + 500x - 2x^2 - 3x^2 - 100x - 5000 = 0.01x^3 + 400x - 5x^2 - 5000. \]
- Tính đạo hàm:
\[ P'(x) = 0.03x^2 + 400 - 10x. \] Giải \( P'(x)=0 \): \[ 0.03x^2 - 10x + 400 = 0. \] Nhân 100 để tiện: \[ 3x^2 - 1000x + 40000 = 0. \] \(\Delta = 1000^2 - 4\cdot3\cdot40000 = 520000\), \(\sqrt{\Delta}\approx 721.11\).
\[ x = \frac{1000 \pm 721.11}{6}. \] - \( x_1 \approx \frac{1721.11}{6}\approx 286.85 \) (lớn hơn 200, loại).
- \( x_2 \approx \frac{278.89}{6}\approx 46.48 \) (trong khoảng \([1,200]\)).
- Kiểm tra cực đại:
\[ P''(x) = 0.06x - 10,\quad P''(46.48) \approx 2.7888 - 10 = -7.2112 < 0 \] => \( x\approx 46.48 \) là cực đại.
- Kiểm tra biên \([1,200]\):
\( P(1) \) và \( P(200) \) đều âm => loại.
- Kết luận:
\( x \approx 46.48 \) cho lợi nhuận lớn nhất.
\( P(46.48) \approx 3792.22 \) (đơn vị tùy đề).
Đáp số: Sản xuất khoảng 46.48 sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất, cỡ 3792.22.
Bài 5 (Khó – 2, có hàm “miền ghép” / piecewise)
Đề bài:
Một công ty bán sản phẩm với chính sách giá bán thay đổi sau mốc 100 sản phẩm:
- Nếu \( 1 \le x \le 100\), giá bán mỗi sản phẩm cố định là 1000 (đơn vị tiền).
- Nếu \( x > 100\), bắt đầu từ sản phẩm thứ 101, giá bán giảm dần theo công thức: \( \text{Giá của sản phẩm thứ }(100 + k) = 1200 - 2k \), với \( k = 1,2,\dots \).
Chi phí sản xuất \( x \) sản phẩm: \[ C(x) = 200x. \] Giả sử công ty không sản xuất quá 600 sản phẩm \(\bigl(1 \le x \le 600\bigr)\). Hãy xác định \( x \) để lợi nhuận \( P(x) = R(x) - C(x) \) lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1. Xây dựng hàm doanh thu \( R(x) \) dạng piecewise:
- Khi \( 1 \le x \le 100 \):
\[ R(x) = 1000x. \]
- Khi \( x > 100 \) (cụ thể \( 100 < x \le 600 \)):
- 100 sản phẩm đầu bán giá 1000 => thu \( 1000 \cdot 100 = 100000 \).
- Từ sản phẩm 101 đến \( x \), đánh số \( k=1 \) đến \( x-100 \). Giá mỗi sản phẩm thứ (100+k) là \( 1200 - 2k \).
Tổng doanh thu phần này: \[ \sum_{k=1}^{x-100} (1200 - 2k). \] Biết \[ \sum_{k=1}^{n} (1200 - 2k) = 1200n - 2\sum_{k=1}^{n} k = 1200n - 2\cdot \frac{n(n+1)}{2} = 1200n - n(n+1) = n(1200 - n - 1) = n(1199 - n). \] Ở đây \( n = x-100 \). Suy ra \[ \sum_{k=1}^{x-100} (1200 - 2k) = (x-100)(1199 - (x-100)) = (x-100)(1299 - x). \] Vậy \[ R(x) = 100000 + \bigl[(x-100)(1299 - x)\bigr] = -x^2 + 1399x - 29900. \]
Như vậy \[ R(x) = \begin{cases} 1000x, & 1 \le x \le 100,\\[6pt] -x^2 + 1399x - 29900, & 100 < x \le 600. \end{cases} \]
Bước 2. Lợi nhuận \( P(x) = R(x) - C(x) \), với \( C(x) = 200x \).
- Trường hợp \( 1 \le x \le 100 \):
\[ P(x) = 1000x - 200x = 800x. \] Đây là hàm bậc nhất tăng dần trên \([1,100]\). Lớn nhất tại \( x=100 \).
\[ P(100) = 800 \cdot 100 = 80000. \]
- Trường hợp \( 100 < x \le 600 \):
\[ P(x) = \bigl[-x^2 + 1399x - 29900\bigr] - 200x = -x^2 + 1199x - 29900. \] Đạo hàm: \[ P'(x) = -2x + 1199. \] Cho \( P'(x)=0 \Rightarrow x = \frac{1199}{2} = 599.5 \). Thuộc \((100,600]\).
\[ P''(x) = -2 < 0 \quad\Longrightarrow\quad x=599.5 \text{ là cực đại}. \] So sánh \( P(599), P(600) \) (nếu cần \( x \) nguyên) cho giá trị \(\approx 329500\), lớn hơn nhiều so với \( 80000 \) ở \( x=100 \).
Bước 3. Kết luận:
- Trên \([1,100]\), lợi nhuận tối đa tại \( x=100 \), đạt 80000.
- Trên \((100,600]\), lợi nhuận tối đa quanh \( x \approx 599.5 \), nếu bắt buộc nguyên thì \( x=599 \) hoặc \( x=600 \). Lợi nhuận \(\approx 329500\), lớn hơn hẳn 80000.
Đáp số: Nên sản xuất gần 599–600 sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa, khoảng 329.5 nghìn (đơn vị tiền).
Tóm tắt chung:
- Bài 1 (Dễ): Hàm bậc hai đơn giản, tìm cực đại trên \([0,\infty)\). Kết quả \( x=20 \).
- Bài 2 (TB 1): Bậc hai, miền \([0,60]\). Kết quả \( x=18.75 \) (hoặc \(19\) nếu lấy nguyên).
- Bài 3 (TB 2): Bậc ba, kiểm tra biên và xét số nguyên. Kết quả \( x \approx 15.49 \) (hoặc \(15\) nếu nguyên).
- Bài 4 (Khó 1): Chi phí bình quân phức tạp, dẫn đến bậc ba. Kết quả \( x \approx 46.48 \).
- Bài 5 (Khó 2, piecewise): Phân tích miền ghép. Kết quả tối ưu \( x \approx 599.5 \) (gần 599–600).