Lời giải

Lời giải

page 22

Lời giải

page 23

Tiệm cận xiên

Ví dụ: Xét hàm số \( y = f(x) = x + 2 + \frac{3}{x - 1} \).

Ta có: \(\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) - (x + 2) \right] = \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{x - 1} = 0\). Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \( y = x + 2 \).

\(\bigstar\) Lưu ý: Hàm số \( f(x) = x + 2 + \frac{3}{x - 1} \) có thể viết lại như sau: \(f(x) = \frac{(x + 2)(x - 1) + 3}{x - 1} = \frac{x^2 + x + 5}{x - 1}.\)

page 24

Lời giải

page 25

Một cách khác để tìm các hệ số \(a\), \(b\) trong phương trình của đường tiệm cận xiên \(y = ax + b\):

Nếu \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a\) và \(\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) - ax \right] = b\), hoặc \(\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = a\) và \(\lim_{x \to -\infty} \left[ f(x) - ax \right] = b\) thì đường thẳng \(y = ax + b\) là tiệm cận xiên.

• Ta có: \( x^2 + 4x + 5 > 0 \)  \(\forall x \in \mathbb{R} \), vì \(\Delta' = 4 - 5 < 0\). Do đó, tập xác định: \( D = \mathbb{R} \).
• \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\), đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang bên phải.
• \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 + 4x + 5} + x + x \right)\) (dạng \( (+\infty) + (-\infty)\))

\(= \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2 + 4x + 5) - (x + 1)^2}{\sqrt{(x^2 + 4x + 5)} - (x + 1)}\)

\(= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 4}{|x| \sqrt{1 - \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}} - (x + 1)}\)

\( = \lim_{x \to -\infty} \frac{x \left(2 + \frac{4}{x}\right)}{-x \left(\sqrt{1 - \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}} - \left(1 + \frac{1}{x}\right)\right)} = -1 \)

Do đó đường thẳng \( y = -1 \) là tiệm cận ngang bên trái.

• Tìm tiệm cận xiên bên phải:

\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x \left(1 + \frac{1}{x}\right) + x \sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}}}{x} = 2\)

\(\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) - 2x \right] = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 4x + 5} - x + 1 \right)\) (dạng \( (+\infty) - (+\infty)\))

\(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 4x + 5 - (x - 1)^2}{\sqrt{x^2 + 4x + 5} + x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{6x + 4}{x\left(\sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}} + 1 - \frac{1}{x}\right)} = 3\)

Do đó đường thẳng \( y = 2x + 3 \) là tiệm cận xiên bên phải.

• Tiệm cận xiên bên trái thì sao?  

Vì đồ thị hàm đã có tiệm cận ngang bên trái thì không có tiệm cận xiên bên trái.

Có thể viết nhanh phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \alpha x + \beta + \sqrt{a^2 x^2 + bx + c} \) với \( a > 0\).

Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số trên có phương trình: \( y = \alpha x + \beta + \sqrt{a} |x + \frac{b}{2a}| \)

• Đường tiệm cận bên phải \((x \to +\infty)\) là: \( y = \alpha x + \beta + \sqrt{a} \left(x + \frac{b}{2a}\right) \)   \( \Rightarrow y = (\alpha + \sqrt{a})x + \beta + \frac{b\sqrt{a}}{2a} \)
• Đường tiệm cận bên trái \((x \to -\infty)\) là: \( y = \alpha x + \beta - \sqrt{a} \left(x + \frac{b}{2a}\right) \)    \( \Rightarrow y = (\alpha - \sqrt{a})x + \beta - \frac{b\sqrt{a}}{2a} \)

page 26, 27

Áp dụng: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = x + 1 + \sqrt{x^2 + 4x + 5}\) là:
\(y = x + 1 + |x+2| =  \begin{cases} 
x+1+(x + 2) & \text{khi } x \to +\infty \\
x+1-(x + 2) & \text{khi } x \to -\infty
\end{cases}\)

\(y = \begin{cases}
2x + 3 & \text{khi } x \to +\infty \\
-1 & \text{khi } x \to -\infty
\end{cases}\)

Vậy:

• Đường thẳng \( y = 2x + 3 \) là tiệm cận xiên bên phải.
• Đường thẳng \( y = -1 \) là tiệm cận ngang bên trái.

Hướng dẫn

page 28