Tiệm cận

Tiệm cận đứng

             

Đồ thị 1: \( \lim_{x \to a^-} f(x) = +\infty \)        

Đồ thị 2: \( \lim_{x \to a^-} f(x) = -\infty \)

            

Đồ thị 3: \( \lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty \)  

      

Đồ thị 4: \( \lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty \)

page 1

---

Tiệm cận ngang

page 9

---

Nhắc lại:

\(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + \dots + b_1 x + b_0} = 
\begin{cases} 
0 & \text{nếu } n < m \\
\frac{a_n}{b_m} & \text{nếu } n = m \\
\infty & \text{nếu } n > m 
\end{cases}\)

\(\lim_{x \to \pm\infty} \sqrt{a x^2 + b x + c} = \lim_{x \to \pm\infty} |x| \sqrt{a}, \quad a > 0\)

Ví dụ:

1) \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{3x - 1} = \frac{1}{3}\)

2) \(\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{3x - 1} = -\frac{1}{3}\)

3) \(\lim_{x \to +\infty} \frac{3x - \sqrt{4x^2 + x + 1}}{2x} = \frac{1}{2}\)

4) \(\lim_{x \to -\infty} \frac{3x - \sqrt{4x^2 + x + 1}}{2x} = \frac{5}{2}\)

page 10

---

Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

• \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{2}{3} \right\} \)
• \( \lim_{x \to \pm \infty} y \) \(= \lim_{x \to \pm \infty}  \frac{x\left( 2 - \frac{1}{x} \right)}{x\left( 3 + \frac{2}{x} \right)} \) \( = \frac{2}{3} \)

Đường thẳng \( y = \frac{2}{3} \) là tiệm cận ngang của đồ thị.

• \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 1, -4 \right\} \)
• \( \lim_{x \to \pm \infty} y \) \(= \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{x^2\left(1 + \frac{3}{x} - \frac{4}{x^2}\right)} \) \(= \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{x\left(1 + \frac{3}{x} - \frac{4}{x^2}\right)} = 0 \)

Đường thẳng \( y = 0 \) là tiệm cận ngang của đồ thị.

\( \lim_{x \to \pm \infty} y \) \( = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2 + \frac{1}{x} - \frac{4}{x^2}\right)} \) \(= \frac{1}{2} \)

Đường thẳng \( y = \frac{1}{2} \) là tiệm cận ngang của đồ thị.

page 2

---

Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:

• D = \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)
• \(\lim_{x \to 3} f(x) = \infty \)  (\(\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty \text{ và } \lim_{x \to 3^-} f(x) =-\infty\))

Đường thẳng \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(x^2 + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\ x = -4 \end{array} \right.\)
• D = \(\mathbb{R} \setminus \{1, -4\}\)
• \(f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 4)} = \frac{x + 1}{x + 4}\)
• \(\lim_{x \to -4^+} f(x) =+\infty\)

Đường thẳng \(x = -4\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(f(x)\).

• \((x^2 + 3x - 4)(x^2 + 4x - 5) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}\\ x = 1 \\x = -4 \\x = -5\end{array} \right.\)
• D = \(\mathbb{R} \setminus \{1, -4, -5\}\)
• \(f(x) = \frac{(x - 1)(x + 3)}{(x - 1)(x + 4)(x - 1)(x + 5)} = \frac{x + 3}{(x - 1)(x + 4)(x + 5)}\)

Đồ thị hàm số \(f(x)\) có 3 đường tiệm cận đứng là \(x = 1\), \(x = -4\) và \(x = -5\).

page 3

---

Sự tương giao của hai đường

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \((C)\) và \(y = g(x)\) có đồ thị \((C')\). Lúc đó, hoành độ giao điểm của \((C)\) và \((C')\) (nếu có) là nghiệm của phương trình \(f(x) = g(x)\).

• \((C)\) cắt \((C')\) tại bao nhiêu điểm thì phương trình \(f(x) = g(x)\) có bấy nhiêu nghiệm và ngược lại.

• Nếu \((C)\) tiếp xúc \((C')\) thì phương trình \(f(x) = g(x)\) có nghiệm bội.

page 29

---

Ví dụ: Biết đường thẳng \( y = x - 1 \) cắt đồ thị hàm số \( y = \frac{-x + 5}{x - 2} \) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \( x_1, x_2 \). Giá trị \( x_1 + x_2 \) bằng:

\(\text{A. }-1 \quad \quad \text{B. }3\)

\(\text{C. }2 \quad \quad \text{D. }1\)

(Đề thi TNPT 2023, Mã đề 101, câu 32)

 

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số đã cho là:

\(\frac{-x + 5}{x - 2} = x - 1\)

\(\Leftrightarrow 
\begin{cases}
x \neq 2 \\
-x + 5 = (x - 1)(x - 2)
\end{cases}\)

\( \Leftrightarrow \begin{cases}
x \neq 2 \\
-x + 5 = x^2 - 3x + 2
\end{cases}\)

\( \Leftrightarrow \begin{cases}
x \neq 2 \\
x^2 - 2x - 3 = 0 \quad \text{(*)}
\end{cases}\)

Vì \( x_1, x_2 \) là 2 nghiệm của phương trình (*) nên \( x_1 + x_2 = 2\). Vậy chọn \(\boxed{C}\).

page 30

---

Phép định tiến hệ trục tọa độ

❋Trong mặt phẳng cho điểm \(I(x_0, y_0)\) và điểm \(M(x, y)\). Xét hệ trục tọa độ \(IXY\), với \(IX\) cùng phương với \(Ox\) và \(IY\) cùng phương với \(Oy\). Lúc đó, đối với hệ trục \(IXY\) điểm \(M\) có tọa độ \((X, Y)\) xác định bởi:

\[
\begin{cases}
x = X + x_0 \\
y = Y + y_0
\end{cases}
\]

Đây là công thức đổi trục từ \(Oxy\) qua trục \(IXY\).

❋ Giả sử \((C)\) là đồ thị của hàm số \(y = f(x)\). Lúc đó, đối với hệ trục \(IXY\), đồ thị \((C)\) có phương trình \(Y = f(X + x_0) - y_0 = g(X) \).

page 67

---

Lời giải:

• Đỉnh \( I \) của parabol có hoành độ là nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) \( \Leftrightarrow f'(x) = 2x - 4 = 0 \) \(\Leftrightarrow x = 2 \). Do đó, tọa độ đỉnh là \( I(2, -1) \).
• Công thức đổi hệ trục như sau:

\(\begin{cases} x = X + 2 \\ y = Y - 1 \end{cases}\)

Đối với hệ trục \( IXY \), parabol có phương trình:

\( Y - 1 = (X + 2)^2 - 4(X + 2) + 3 \) \(\Leftrightarrow Y = X^2 = g(X) \)

Vậy phương trình parabol là \( Y = X^2 \), và đây là một hàm chẵn.

page 68