Cho tam giác \( ABC \) và điểm \( M \) trên cạnh \( AB \) như hình vẽ. 

Xác định một điểm \( N \) trên cạnh \( AC \) và điểm \( P \) trên cạnh \( BC \) sao cho chu vi \( \Delta MNP \) nhỏ nhất.

Cho hình lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \) có cạnh bằng 1, \( M \) là trung điểm của \( AB \). Một con kiến di chuyển từ \( M \) thẳng tới điểm \( N \) thuộc cạnh \( BC \), đi từ \( N \) thẳng tới điểm \( P \) thuộc cạnh \( CC' \), rồi từ \( P \) đi thẳng đến \( D' \) ( điểm N, P thay đổi tùy theo hướng đi của con kiến). Quãng đường ngắn nhất để con kiến đi từ \( M \) đến \( D' \) là:

Lựa chọn:
A. \( \frac{5}{2} \)
B. \( \frac{\sqrt{29}}{2} \)
C. \( 1 + \sqrt{2} \)
D. \( \frac{3}{2} + \sqrt{2} \)

Cùng câu hỏi với lăng trụ tam giác đều \( ABC.A'B'C' \) có cạnh đáy \( a \), cạnh bên \( a \).

Các điểm \( H \), \( K \) lần lượt là trung điểm của các cạnh \( AB \), \( A'B' \). \( M \in BB' \), \( N \in CC' \), \( P \in A'C' \).

\( MM + MN + NP + PL \) nhỏ nhất bằng?

Chu vi của một tam giác là 16 cm, độ dài một cạnh là 6 cm. Tìm độ dài 2 cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức
\( P = \frac{x^2 - 2xy + 3y^2}{2x^2 + 2xy + 3y^2} \)