Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số \( y = f(x) \) xác định trên \( [a,b] \).

a) Nếu \( \exists x_0 \in [a,b] \) sao cho \( f(x) \leq f(x_0), \forall x \in [a,b] \), thì \( f(x_0) \) gọi là giá trị lớn nhất của hàm \( f \) trên \( [a,b] \).

Ký hiệu: \( \max\limits_{[a,b]} f(x) = f(x_0) \)

b) Nếu \( \exists x_1 \in [a,b] \) sao cho \( f(x) \geq f(x_1), \forall x \in [a,b] \), thì \( f(x_1) \) gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm \( f \) trên \( [a,b] \).

Ký hiệu: \( \min\limits_{[a,b]} f(x) = f(x_1) \)

Định lý: Cho hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên \( [a,b] \) và có đạo hàm trong \( (a,b) \). Lúc đó:

\(\max\limits_{[a,b]} f(x) = \max \left\{ f(a), f(b), f(x_1), \ldots, f(x_n) \, \middle/ \, x_i \in (a,b), f'(x_i) = 0 \right\}\)

\(\min\limits_{[a,b]} f(x) = \min \left\{ f(a), f(b), f(x_1), \ldots, f(x_n) \, \middle/ \, x_i \in (a,b), f'(x_i) = 0 \right\}\)

page 1

Ví dụ: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đồ thị như hình vẽ:

Khi đó ta có:

• \(\max\limits_{[a,b]} f(x) = f(x_1), \quad \max\limits_{[a,c]} f(x) = f(c)\)
• \(\max\limits_{[a,d]} f(x) = f(x_3)\)
• \(\min\limits_{[a,b]} f(x) = f(x_2), \quad \min\limits_{[a,d]} f(x) = f(d)\)

page 2

Lời giải:

Tính đạo hàm: \( y' = f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 0 \)

\( \Leftrightarrow 
\left[ 
\begin{array}{l} 
x = 0 \\ 
x = \pm 1 
\end{array} 
\right. \)

Ta có: \(\max\limits_{[-3, 2]} f(x) = 66\)

\(\min\limits_{[-3, 2]} f(x) = 2\)

Cách 2: Chạy bảng

\( f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow 
\left[ 
\begin{array}{l} 
x = 0 \\ 
x = \pm 1 
\end{array} 
\right. \)

\(\max\limits_{[-3, 2]} f(x) = \max \left\{ f(-3), f(2), f(0), f(1), f(-1) \right\}\)

\(= \max \left\{ 66, 11, 3, 2, 2 \right\} = 66\)

\(\min\limits_{[-3, 2]} f(x) = \min \left\{ 66, 11, 3, 2, 2 \right\} = 2\)

page 3