Hàm số y = (ax + b) / (cx + d) - Bài tập phần 4
Bài tập: Cho hàm số \( y = \frac{2x - 3}{x + 1} \) có đồ thị \( (C) \) và điểm \( M \) nằm trên đồ thị \( (C) \). Khi đó tích các khoảng cách từ điểm \( M \) đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của \( (C) \) bằng:
\(\text{A. } 1 \quad \text{B. } 2 \)
\(\text{C. } 3 \quad \text{D. } 5 \)
\(\text{A. } 1 \quad \text{B. } 2 \)
\(\text{C. } 3 \quad \text{D. } 5 \)
\(\bigstar\) Tổng quát: Hàm số \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \), với đồ thị \( (C)\) và 2 tiệm cận là \( \Delta_1 \) và \( \Delta_2 \), \( M \in (C) \).
\[ d(M, \Delta_1) * d(M, \Delta_2) = \frac{|ad - bc|}{c^2} \]
\[ d(M, \Delta_1) * d(M, \Delta_2) = \frac{|ad - bc|}{c^2} \]
Chứng minh:
- \( \Delta_1 \) là tiệm cận đứng, \( M(x_0, f(x_0)) \in (C) \) \( \Rightarrow d(M, \Delta_1) = \frac{|cx_0 + d|}{|c|} \)
- \( \Delta_2 \) là tiệm cận ngang \( \Rightarrow d(M, \Delta_2) = \frac{|ad - bc|}{|c| \cdot |cx_0 + d|} \)
page 17
Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) = \frac{2x - 3}{x + 1} \) có đồ thị \( (C) \) và điểm \( I \) là giao điểm của hai đường tiệm cận của \( (C) \). Gọi \( M \) là điểm tùy ý trên \( (C) \). Tiếp tuyến \( \Delta \) của \( (C) \) tại \( M \) cắt hai đường tiệm cận của \( (C) \) tại \( A \) và \( B \). Khi đó diện tích tam giác \( \Delta IAB \) bằng:
\(\text{A. } 5 \quad \text{B. } 10 \)
\(\text{C. } 20 \quad \text{D. } \frac{5}{2} \)
\(\text{A. } 5 \quad \text{B. } 10 \)
\(\text{C. } 20 \quad \text{D. } \frac{5}{2} \)
\(\bigstar\) Tổng quát: Cho hàm số \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \) có đồ thị \( (C) \) và giao điểm của hai đường tiệm cận là \(I\). Điểm \( M \) tùy ý thuộc \( (C) \). Tiếp tuyến \( \Delta \) của \( (C) \) tại \( M \) cắt hai đường tiệm cận tại \( A \) và \( B \). Khi đó diện tích tam giác \( \Delta IAB \) là: \[ S_{\Delta IAB} = \frac{2 |ad - bc|}{c^2} \]
\(\nabla\) Tại sao có công thức này? Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \).
page 18
Bài tập: Cho hàm số \( y = \frac{x + 2}{x - 1} \) có đồ thị \( (C) \). Tìm điểm \( M \) thuộc \( (C) \) nào cho tổng khoảng cách từ \( M \) đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của \( (C) \) bằng 4.
A. \( M(0, -2) \vee M(4, 2) \)
B. \( M(2, 4) \)
C. \( M(-2, 0) \)
D. \( M(0, -2) \), \( M(2, 4) \), \( M(4, 2) \) hoặc \( M(-2, 0) \)
A. \( M(0, -2) \vee M(4, 2) \)
B. \( M(2, 4) \)
C. \( M(-2, 0) \)
D. \( M(0, -2) \), \( M(2, 4) \), \( M(4, 2) \) hoặc \( M(-2, 0) \)
page 19
Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) = \frac{3x - 1}{x - 3} \) có đồ thị \( (C) \). Tìm điểm \( M \) thuộc đồ thị \( (C) \) sao cho khoảng cách từ \( M \) đến tiệm cận đứng bằng 2 lần khoảng cách từ \( M \) đến tiệm cận ngang.
Hỏi lại: Gọi \( M(a, b) \) là điểm thuộc đồ thị \( (C) \) của hàm số \( y = \frac{3x - 1}{x - 3} \). Khoảng cách từ \( M \) đến tiệm cận đứng bằng 2 lần khoảng cách từ \( M \) đến tiệm cận ngang. Khi đó \(a-2b\) bằng:
\(\text{A. } 3 \quad \quad \text{B. } -3\)
\(\text{C. } -1 \quad \quad \text{D. } -19\)
\(\text{A. } 3 \quad \quad \text{B. } -3\)
\(\text{C. } -1 \quad \quad \text{D. } -19\)
Đáp án: \(\boxed{B}\)
page 20
Bài tập: Cho hàm số \( y = \frac{2x + 3}{x - 3} \) có đồ thị \( (C) \). Tìm tất cả các điểm trên \( (C) \) có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
\(\text{A. } M(0, -1) \quad \quad \text{B. } M(6, 5)\)
\(\text{C. } M(0, -1) \vee M(6, 5) \quad \quad \text{D. } M(0, 1) \vee M(6, 5)\)
\(\text{A. } M(0, -1) \quad \quad \text{B. } M(6, 5)\)
\(\text{C. } M(0, -1) \vee M(6, 5) \quad \quad \text{D. } M(0, 1) \vee M(6, 5)\)
Trắc nghiệm: Gọi \( M(a, b) \) là điểm trên đồ thị \( (C) \) của hàm số \( y = \frac{2x + 3}{x - 3} \), sao cho tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất. Khi đó \( a - b \) bằng:
\(\text{A. } -1 \quad \quad \text{B. } 0\)
\(\text{C. } 1 \quad \quad \text{D. } 2\)
\(\text{A. } -1 \quad \quad \text{B. } 0\)
\(\text{C. } 1 \quad \quad \text{D. } 2\)
Đáp án: \(\boxed{C}\)
page 21