Đáp án

• Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)

• Sự biến thiên: \(y = 2x + 1 + \frac{2}{x - 1}\)

• \(y' = 2 - \frac{2}{(x - 1)^2} = \frac{2(x^2 - 2x)}{(x - 1)^2} = 0 \iff 
\left[ 
\begin{array}{l} 
x = 0 \\ 
x = 2 
\end{array} 
\right.\)

• \(\lim_{x \to \pm\infty} (y - (2x + 1)) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x - 1} = 0 \Rightarrow y = 2x + 1\) là tiệm cận xiên.

• \(\lim_{x \to 1^-} y = -\infty\) , \(\lim_{x \to 1^+} y = +\infty \Rightarrow x = 1\) là tiệm cận đứng.

page 3

Đáp án

• Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng \( d_m \):

\( \frac{2x^2 - x + 1}{x - 1} = -x + m
\Leftrightarrow\begin{cases}x \ne   (bỏ) \\
2x^2 - x + 1 = (-x + m)(x - 1)
\end{cases} \)

\( \Leftrightarrow 3x^2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 \quad (*) \)

• \( (d_m)\) cắt  \((C)\) tại 2 điểm phân biệt  \(A, B. \)

\( \Leftrightarrow\) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \( x_A, x_B. \)

\( \Leftrightarrow \Delta = (m + 2)^2 - 12(m + 1) > 0 \)

\( \Leftrightarrow \Delta = m^2 - 8m - 8 > 0 
 \Leftrightarrow m < 4 - 2\sqrt{6}\) hay \( m > 4 + 2\sqrt{6} \)
 

• Lúc đó trung điểm \( I \) của \( AB \) có tọa độ

\( \begin{cases}x = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{m + 2}{6} \\ y = -x + m \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} m = 6x - 2 \\ y = 5x - 2 \end{cases} \)

\( \left[ \begin{array}{l}
m < 4 - 2\sqrt{6} \\
m > 4 + 2\sqrt{6}
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
6x - 2 < 4 - 2\sqrt{6} \\
6x - 2 > 4 + 2\sqrt{6}
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
x < \frac{6 - 2\sqrt{6}}{6} \\
x > \frac{6 + 2\sqrt{6}}{6}
\end{array}\right. \)

Vậy tập hợp trung điểm \( I \) của \( AB \) là các điểm nằm trên đường thẳng \( y = 5x - 2 \) với \( \left[\begin{array}{I} x < \frac{6 - 2\sqrt{6}}{6} \\ x > \frac{6 + 2\sqrt{6}}{6} \end{array}\right. \)

page 4

Đáp án

Xem câu b.

•  Với \( m < 4 - 2\sqrt{6} \)  hay  \( m > 4 + 2\sqrt{6} \) thì  \(d_M\) cắt\( (C)\) tại điểm \( A, B \) có hoành độ \( x_A, x_B \) là 2 nghiệm của phương trình: \( 3x^2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 \)

•  \( A(x_A, -x_A + m) \) ,  \( B(x_B, -x_B + m) \).

•  \( AB = 1  \Leftrightarrow AB^2 = 1 \Leftrightarrow (x_B - x_A)^2 + (x_A - x_B)^2 = 1 \)

 \( \Leftrightarrow 2(x_B - x_A)^2 = 1 \Rightarrow 2[(x_A + x_B)^2 - 4x_A x_B] = 1 \)  (*)

Mà \( \begin{cases} x_A + x_B = \frac{m + 2}{3} \\ x_A x_B = \frac{m + 1}{3} \end{cases} \)

\( (*) \Leftrightarrow 2\left[ \frac{(m+2)^2}{9} - 4 \frac{(m+1)}{3} \right] = 1 \)

\( \Leftrightarrow 2m^2 - 16m - 25 = 0
\Leftrightarrow m = \frac{8 \pm \sqrt{66}}{2} \) ( thỏa điều kiện)

page 5

Đáp án

 \( y = \frac{-x^2 + x - 1}{x - 1} = -x - \frac{1}{x - 1} \)

•  Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \)

•  Sự biến thiên:
         \( y' = -1 + \frac{1}{(x - 1)^2} = -\frac{x^2 + 2x}{(x - 1)^2} = 0
\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}
x = 0\\
x = 2
\end{array}\right.\)

•  \( \lim_{x \to \pm\infty} \left[ y - (-x) \right] = 0 \Rightarrow y = -x \) là tiệm cận xiên.

•  \( \lim_{x \to 1^-} y = +\infty \),  \( \lim_{x \to 1^+} y = -\infty \Rightarrow x = 1 \) là tiệm cận đứng.

page 6

Đáp án

•  Gọi \( M(x_0, f(x_0)) \) là điểm tùy ý trên \((C)\).

•  Tiếp tuyến \(\Delta\) của \((C)\) tại \( M \) có phương trình:

\(\Delta : y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\)

        \( y = \left( \frac{-x_0^2 + 2x_0}{(x_0 - 1)^2} \right)(x - x_0) + \frac{-x_0^2 + x_0 - 1}{x_0 - 1} \quad (x_0 \neq 1) \)

•  \(\Delta\) qua \( A(-2, -3) \):

\(\Leftrightarrow -3 = \left( \frac{-x_0^2 + 2x_0}{(x_0 - 1)^2} \right)(-2 - x_0) + \frac{-x_0^2 + x_0 - 1}{x_0 - 1}\)

\(\Leftrightarrow -3 (x_0 - 1)^2 = (-x_0^2 + 2x_0)(-2 - x_0) + (-x_0^2 + x_0 - 1)(x_0 - 1)\)

\(\Leftrightarrow 5x_0^2 + 12x_0 + 4 = 0
 \Leftrightarrow \left[  \begin{array}{l} x_0 = 2 \\ x_0 = \frac{2}{5} \end{array} \right. \)

Do đó, có 2 tiếp tuyến của (C) qua \( A(-2, -3) \) là:

•  \( x_0 = 2 \):   \( \Delta: y = -3 \)

•  \( x_0 = \frac{2}{5} \):   \( \Delta: y = \frac{16}{9} \left( x - \frac{2}{5} \right) + \frac{19}{45} \)  \(( y = \frac{16x}{9} + \frac{5}{9} )\)

page 7