Đáp án

Hướng dẫn:

Từ đồ thị của hàm số \( y = f(x) = \frac{-x^2 + x - 1}{x - 1} \)  suy ra đồ thị của hàm số \( y = g(x) = f(|x|) = \frac{-x^2 + |x| - 1}{|x| - 1} \) như sau:

Dựa vào đồ thị, ta có:
phương trình:  \( \frac{-x^2 + |x| - 1}{|x| - 1} = m \) có đúng 2 nghiệm khi

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}
m > 1\\
m = -3
\end{array}\right.\)

page 8

Đáp án

Đặt \( f(x) = \frac{-x^2 + x - 1}{x - 1} \)

\( g(x) = \frac{-x^2 + x - 1}{|x - 1|}= \begin{cases}\frac{-x^2 + x - 1}{x - 1} = f(x)  & \text{nếu} & x > 1 \\ \frac{-x^2 + x - 1}{1 - x}= -f(x)  & \text{nếu} &x < -1 \end{cases} \)

Từ đó ta có:
•  Phần \( x > 1 \): khi đó đồ thị hàm \( g \) trùng với đồ thị hàm \( f \).
•  Phần \( x < -1 \): khi đó đồ thị hàm \( g \) đối xứng với đồ thị hàm \( f \) qua trục hoành.

Dựa vào đồ thị hàm \( g \), suy ra phương trình \( \frac{-x^2 + x - 1}{|x - 1|} = m \) có đúng 2 nghiệm khi

\(\Leftrightarrow -3 < m < -1 \)
 

page 9

*  Công thức tính nhanh giá trị cực trị của hàm số \( y = f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{a_1x + b_1} \)

• Nếu hàm số \( y = f(x) \) đạt cực trị tại \( x_0 \) thì giá trị cực trị tại \( x_0 \) là

            \(f(x_0) = \frac{2ax_0 + b}{a_1} \)
(Đạo hàm tử, đạo hàm mẫu và thay hoành độ cực trị vào)

•  Nếu hàm số \( y = f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{a_1x + b_1} \) đạt cực trị tại \( x_1 \) và \( x_2 \) thì:

    \( f(x_1) = \frac{2ax_1 + b}{a_1}\) 

    \(f(x_2) = \frac{2ax_2 + b}{a_1}\)

 Suy ra đường thẳng qua 2 điểm cực trị \( A(x_1, f(x_1))  B(x_2, f(x_2)) \) của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) có phương trình:
             \( y = \frac{2ax}{a_1} + \frac{b}{a_1} \)

page 10

Đáp án

• \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \)

• \( y' = \frac{x^2 + 2x + 2m - 2}{(x + 1)^2} \)

Hàm số có cực đại và cực tiểu 
\(\Leftrightarrow\) Phương trình \( y' = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt \( x_1,  x_2 \)
\(\Leftrightarrow  \begin{cases} \Delta' = 3 - 2m > 0 \\ 2m - 3 \ne 0 \end{cases}  \Leftrightarrow m < \frac{3}{2} \)

Khi đó đường thẳng qua 2 điểm cực trị \( A, B \) của đồ thị có phương trình: \( y = 2x + 2m \)

Ba điểm \( A, B, O \) thẳng hàng khi:

\(\Leftrightarrow\) Điểm \( O(0, 0) \) nằm trên đường thẳng \( y = 2x + 2m \)

\(\Leftrightarrow m = 0\)  (thỏa điều kiện \(m < \frac{3}{2}) \)

Chú ý:
Bạn có thể đi đến đáp số cực nhanh nếu biết phương trình đường thẳng \( d \) qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: \( d: y = 2x + 2m \).

Khi đó: \( A, B, O \) thẳng hàng \( \Leftrightarrow O(0,0) \in d \) 
\( \Leftrightarrow m = 0 \)

page 11

Đáp án

Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị khi:
\( \Leftrightarrow\) Phương trình \( y' = \frac{x^2 + 2x + 2m - 2}{(x + 1)^2} = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \)

\( \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta' = 3 - 2m > 0 \\ 2m - 3 \neq 0
\end{cases}\)
( -1 không phải là nghiệm của tử số)

\( \Leftrightarrow m < \frac{3}{2} \)

•  Khi đó, 2 điểm cực trị của đồ thị là:

\( A(x_1, 2x_1 + 2m) \) và \( B(x_2, 2x_2 + 2m) \)

•  Hai điểm \( A, B \) nằm về 2 phía đối với trục hoành

\( \Leftrightarrow  y_A . y_B < 0 \)

\( \Leftrightarrow (2x_1 + 2m)(2x_2 + 2m) < 0 \)

\( \Leftrightarrow 4x_1x_2 + 4m(x_1 + x_2) + 4m^2 < 0 (*) \)

Với \( \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 x_2 = 2m - 2 \end{cases} \)

 (*) \(\Leftrightarrow  4(2m - 2) - 8m + 4m^2 < 0 \)

\( \Leftrightarrow 4m^2 - 4 < 0 \)

\( \Leftrightarrow -1 < m < 1\) thoả mãn để  m < \frac{3}{2}) \)

Vậy: \( -1 < m < 1 \)

Gợi ý 1: Hãy hình dung 4 dạng đồ thị của hàm số: \( y = \frac{ax^2 + bx + c}{a_1 x + b_1} \) và số giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành

\( \Leftrightarrow \) Đồ thị hàm số không cắt trục hoành

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \( x^2 + 2mx + 2 = 0 \)  vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \Delta = m^2 - 1 < 0 \Rightarrow -1 < m < 1 \)

page 12 & 13