Đáp án

Hàm số có 2 điểm cực trị:
\( \Leftrightarrow \) Phương trình  \( y' = \frac{x^2 + 2mx - 2}{(x+1)^2} = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Leftrightarrow \) Phương trình  \( x^2 + 2x + 2m - 2 = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt  \( x_1. x_2 \) khác \( -1 \)

\( \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta' = 3 - 2m > 0 \\ 2m - 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m < \frac{3}{2} \)

Gọi \( A \left( x_1, 2x_1 + 2m \right) , B \left( x_2, 2x_2 + 2m \right) \) là 2 điểm cực trị \(A , B\) cách đều đường thẳng\( x+y+2 = 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{\left| x_1 + y_1 + 2 \right|}{\sqrt{2}} = \frac{\left| x_2 + y_2 + 2 \right|}{\sqrt{2}} \)

\( \Leftrightarrow |3x_1 + 2m + 2| = |3x_2 + 2m + 2| \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{I} 3x_1 + 2m + 2 = 3x_2 + 2m + 2 \\ 3x_1 + 2m + 2 = -3x_2 - 2m - 2 \end{array} \right. 
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{I} x_1 = x_2 \quad \text{(loại)} \\ 3(x_1 + x_2) = -4m - 4 (*)  \end{array} \right.  \)

Mà \( x_1 + x_2 = -2 \)

\( (*)  \Leftrightarrow -6 = -4m - 4 \Rightarrow m = \frac{1}{2} \quad \)(thoả mãn điều kiện \( m < \frac{3}{2} )\)

Đáp số: \( m = \frac{1}{2} \)
* Bạn có thể đi đến đáp số này nhanh hơn bằng một cách khác, có lẽ không quá 45 giây. Hãy suy nghĩ thử xem.

page 14

Gợi ý 1:

•  Hai điểm \( A \) và \( B \) cách đều đường thẳng \( \Delta \).

+ Đường thẳng \( AB\) vuông phương với đường thẳng\( \Delta\) 
+ Trung điểm \( I\) của đoạn thẳng \(AB\)  nằm trên \(\Delta\)

 •  Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình \( y = 2x + 2m \).

Gợi ý 2:

Vì đường thẳng qua 2 điểm cực trị không cùng phương với đường thẳng \( x + y + 2 = 0 \)

Do hai điểm cực trị \( A \left( x_1, 2x_1 + 2m \right) , B \left( x_2, 2x_2 + 2m \right) \) cách đều đường thẳng \( x + y + 2 = 0 \)
\(\Leftrightarrow\) Trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) là \( I \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, x_1 + x_2 + 2m \right) \) nằm trên đường thẳng \(d:  x + y + 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \frac{x_1 + x_2}{2} + x_1 + x_2 + 2m + 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow 3(x_1 + x_2) + 4m + 4 = 0 \) (*)

Mà \( x_1 + x_2 = -2 \)

(*) \(\Leftrightarrow -6 + 4m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2} \)

page 15

Đáp án

•  Với \( M(x, y) \) thì điểm đối xứng của \( M \) qua \( O \) là \( M'(-x, -y) \)

•  \( M \) và \( M' \) cùng thuộc đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi

Hệ \(\begin{cases}\frac{x^2 + 2mx + m^2}{x + 1} = -\frac{x^2 - 2mx + m^2}{-x + 1} \\ x \ne 0 \end{cases}\)  có nghiệm

\( \Leftrightarrow\) Hệ \( \begin{cases} (1 - 2m)x^2 + m^2 = 0 \\ x \ne 0 \text{ và } x\ne \pm 1 \end{cases}\)  có nghiệm

\(\Leftrightarrow \begin{cases} 1 - 2m < 0 \\ m^2 \neq 0 \\ m^2 - 2m + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > \frac{1}{2} \\ m \neq 1 \end{cases} \)

Đáp án

Gợi ý:
•  Với \( M(x, y) \) thì điểm đối xứng của \( M \) qua trục \( y \) là \( M'(-x, y) \).

•  \( M \) và \( M' \) cùng thuộc đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi

Hệ \( \begin{cases} \frac{x^2 + 2mx + m^2}{x + 1} = \frac{x^2 - 2mx + m^2}{-x + 1} \\ x \ne 0 \end{cases} \) có nghiệm

\( \Leftrightarrow\) Hệ\( \begin{cases} 2x(x^2 + m^2 - 2m) = 0 \\ x \ne 0 \text{ và } x \ne \pm 1 \end{cases}\)  có nghiệm

\(\Leftrightarrow \begin{cases} -m^2 + 2m > 0 \\ -m^2 + 2m \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0 < m < 2 \\ m \neq 1 \end{cases} \)

page 16

Đáp án

Gợi ý:
Các điểm cần tìm là giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng \( y = -\frac{3}{4}x \) với trục tung.

            Đáp số: \( M_1(0, \frac{9}{2}) \) và \( M_2(0, \frac{5}{2}) \)

Gợi ý cụ thể (nếu không tìm thấy đáp số):

 •  Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc bằng \(-\frac{3}{4}\)

\( y' = \frac{-x^2 + 4x - 3}{(-x + 2)^2} = -\frac{3}{4} \Leftrightarrow x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{I} x = 0 \\ x = 4 \end{array} \right.\)

Có 2 điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc bằng \(-\frac{3}{4}\) là \( A(0, \frac{9}{2}) \) và \( B(4, \frac{-1}{2}) \)

Tiếp tuyến của đồ thị tại \( A(0, \frac{9}{2}) \) và tại \( B(4, \frac{-1}{2}) \) lần lượt có phương trình:

\( y = -\frac{3}{4}(x - 0) + \frac{9}{2} \Leftrightarrow y = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{2} \)

\( y = -\frac{3}{4}(x - 4) + \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = -\frac{3}{4}x + \frac{5}{2} \)

Các điểm cần tìm là các giao điểm của các tiếp tuyến này với trục tung, là \( M_1(0, \frac{9}{2}) \) và \( M_2(0, \frac{5}{2}) \)

page 17

Đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng \( y = m \) là:

\( \frac{-x^2 + 3x - 3}{2(x - 1)} = m \Leftrightarrow x^2 + (2m - 3)x + (3 - 2m) = 0 \quad (*) \)

Phương trình \((*)\) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\( \Delta = 4m^2 - 4m - 3 > 0 \Leftrightarrow m < -\frac{1}{2} \text{ hoặc } m > \frac{3}{2} \quad (**) \)

Khi đó:
\( AB = 1 \Leftrightarrow |x_2 - x_1| = 1 \Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = 1 \)

\( \Leftrightarrow (2m - 3)^2 - 4(3 - 2m) = 1 \Rightarrow m = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)
(thỏa mãn đk **)

page 18

Đáp án

 •  \( y' = \frac{x^2 + 4x + 4 - m^2}{(x + 2)^2} \)

 •  Hàm số \( (1) \) có 2 điểm cực trị 

\(\Leftrightarrow\) Phương trình \( x^2 + 4x + 4 - m^2 = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \) khác \(-2\)

\(\Leftrightarrow\) \( \Delta =  m^2 > 0\\ - m^2 \neq 0 \Leftrightarrow  m \neq 0\)

Khi đó, 2 điểm cực trị của đồ thị có hoành độ là:

\(\left[ \begin{array}{I} x_1 = -2 - m \\  x_2 = -2 + m \end{array}\right.\)

Do đó \( A(-2 - m, -2) \)  \( B(-2 + m, 4m - 2) \)

\( \triangle ABC \) vuông tại \( O \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = 0 \)

\(\Leftrightarrow (-2 - m)(-2 + m) + (-2)(4m - 2) = 0\)

\(\Leftrightarrow -m^2 - 8m + 8 = 0 \Leftrightarrow m = -4 \pm 2\sqrt{6} \quad\) (thỏa mãn điều kiện \(m \neq 0)\)

Vậy \( m = -4 \pm 2\sqrt{6} \)

Nhắc:

 •  \(\vec{a} = (a_1, a_2)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2)\)

 •  Tích vô hướng: \(\vec{a} . \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\)

 •  \(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \vec{b} = 0\)

page 19

Đáp án

 •  \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \)
  
 •  Sự biến thiên:
                        + \( y' = \frac{-3}{(x - 1)^2} < 0, \, \forall x \in D \)
                        + Hàm \( f \) nghịch biến trong \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \)

•  Giới hạn và tiệm cận:

    +  \( \lim_{x \to 1^+} y = +\infty, \quad \lim_{x \to 1^-} y = -\infty \Rightarrow x = 1\) là tiệm cận đứng.

    + \( \lim_{x \to \pm\infty} y = 1 \quad \Rightarrow y = 1 \)là tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên
  

• Đồ thị

b) \( M \in (C) \Leftrightarrow M(a, \frac{a + 2}{a - 1}) \)

     \( d(M, \Delta) = \frac{\left| a + \frac{a + 2}{a - 1} \right|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \)

     \(\Leftrightarrow |a^2 + 2| = 2|a - 1| 
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 
\begin{cases} a \geq 1 \\ a^2 - 2a + 4 \end{cases} \\ 
\begin{cases} a \leq 1 \\ a^2 + 2a = 0 \end{cases} 
\end{array} \right.\)

     \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{I}
a =0 \\ 
a = -2 \end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{I}
M(0,-2)\\
M(-2,0)
\end{array}\right.\)

page 20