Bài tập: Tìm tất cả giá trị của \( m \) để đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3mx^2 + 4m^3 \) có 2 điểm cực trị \( A, B \) sao cho \( \Delta OAB \) có diện tích bằng 4. \( O \) là gốc tọa độ.
\( \text{A. } m = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \)
\(\text{B. } m = -1, m = 1 \)
\(\text{C. } m = 1 \)
\(\text{D. } m \neq 0 \)
(Đề thi 2017, Mã đề 104, câu 45)
Lời giải
page 39
Giá trị cực trị của hàm số bậc ba
Xét hàm số \( y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \), \( a \neq 0 \).
- \( f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \)
- Chia \( f(x) \) cho \( f'(x) \) ta được:
\( f(x) = (\alpha x + \beta)f'(x) + \gamma x + \delta \)
- Nếu hàm số đạt cực trị tại \( x_0 \) (\( f'(x_0) = 0 \)) thì giá trị cực trị của hàm số là: \( f(x_0) = \gamma x_0 + \delta \)
- Nếu đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) \) thì:
\[ y_1 = \gamma x_1 + \delta \]
\[y_2 = \gamma x_2 + \delta \]
Do đó đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm \(f\) có phương trình:
\[ \Delta: y = \gamma x + \delta \]
Ghi nhớ: Đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm bậc ba \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) có phương trình: \[ y = \frac{1}{9a} \left[ \left| \begin{array}{cc} 3a & b \\ 2b & 2c \end{array} \right| x + \left| \begin{array}{cc} 3a & b \\ c & 3d \end{array} \right| \right]\]
\( y = \frac{1}{9a} \left[ (6ac - 2b^2)x + 9ad - bc \right] \)
page 40
Bài tập: Đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 \) có 2 điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(AB\).
A. \( Q(-1, 10) \)
B. \( M(0, -1) \)
C. \( N(1, -10) \)
D. \( P(1, 0) \)
Lời giải
page 41
Bài tập: Tìm \( m \) để đường thẳng \( y = (2m - 1)x + 3 + m \) vuông góc với đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \).
A. \( m = -\frac{1}{2} \)
B. \( m = \frac{3}{2} \)
C. \( m = \frac{1}{4} \)
D. \( m = \frac{3}{4} \)
(Đề thi 2017 câu 40)
Lời giải
page 42
Bài tập: Tìm tất cả giá trị của \( m \) để đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 3mx^2 + 2 \) có 2 điểm cực trị \( A \) và \( B \) sao cho đường thẳng \(AB \) qua điểm \( I(1, 0) \).
A. \( m = 3 \vee m = -3 \)
B. \( m = 1 \vee m = -1 \)
C. \( m = 1 \vee m = 2 \)
D. \( m = 2 \vee m = -2 \)
Lời giải
page 43