Khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = f(x)\), ta thực hiện theo các bước sau đây:

• Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
• Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số

- Tìm đạo hàm \(y'\), xét dấu \(y'\)
- Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số, tìm các đường tiệm cận nếu có
- Lập bảng biến thiên của hàm số, chỉ ra các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số

• Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số

- Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có và dễ tìm)
- Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)
- Vẽ đồ thị hàm số

page 1

---

Khảo sát tổng quát hàm số \(y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), \(a \neq 0\)

• Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
• Sự biến thiên: \( y' = 3ax^2 + 2bx + c\) 

a) \(\Delta' = b^2 - 3ac < 0\)

\(\alpha) \begin{cases}{}  a < 0 \\ \Delta' < 0 \end{cases} \)

 \(\beta) \begin{cases}{}  a > 0 \\ \Delta' < 0 \end{cases} \)

b) \(\Delta' = 0\)

\(\alpha) \begin{cases}{}  a < 0 \\ \Delta' = 0 \end{cases} \)

\(\beta) \begin{cases}{}  a > 0 \\ \Delta' = 0 \end{cases} \)

c) \(\Delta' > 0\)

\(\alpha) \begin{cases}{}  a < 0 \\ \Delta' > 0 \end{cases} \)

\(\beta) \begin{cases}{}  a > 0 \\ \Delta' > 0 \end{cases} \)

page 2

---

Đồ thị: Đồ thị của hàm số bậc ba có 6 dạng

• \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)  

\( f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \)  

\( f''(x) = 6ax + 2b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{3a} \)

• Điểm trên đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = f(x)\)) có hoành độ \(x = -\frac{b}{3a}\) (nghiệm của pt \(f''(x) = 0\)) gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba \(y = f(x)\).
• Đồ thị của hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

 

 

 

 

 

page 3