Nguyên hàm bài tập phần 1

Bài tập: Xác định \( a, b, c \) sao cho \( g(x) = (a x^2 + b x + c) \sqrt{2x - 3} \)  
là một nguyên hàm của hàm số  \( f(x) = \frac{5x^2 - 3}{\sqrt{2x - 3}} \)
A. \( \begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \\ c = -3 \end{cases} \)                  B. \( \begin{cases} a = 1 \\ b = -2 \\ c = 3 \end{cases} \)                      C. \( \begin{cases} a = 1 \\ b = -2 \\ c = -3 \end{cases} \)                   D. \( \begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \end{cases} \)  

Đáp án: 

• \( g'(x) = \frac{5a x^2 + (3b - 6a)x + c - 3b}{\sqrt{2x - 3}} = \frac{5x^2 - 3}{\sqrt{2x - 3}} \)

• \(\quad \Leftrightarrow \quad\) \(\begin{cases} 
5a = 5 \\ 
3b - 6a = 0 \\ 
c - 3b = -3
\end{cases}
\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 
a = 1 \\ 
b = 2 \\ 
c = 3
\end{cases} \)

• Vậy chọn đáp án \( \boxed{D} \)

page 5


Bài tập: Cho \( \int f(x) \, dx = F(x) + C \). Khi đó với \( a \neq 0 \), \( \int f(ax + b) dx\)  bằng:
A. \( a F(ax + b) + C \quad \)
B. \( \frac{1}{a} F(ax + b) + C \)
C. \( F(ax + b) + C \)  \( \quad \)
D. \( \frac{1}{2a} F(ax + b) + C \).

Đáp án:

• Đặt \( u = ax + b \Rightarrow du = a \, dx \Rightarrow dx = \frac{1}{a} \, du \)

• \( \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \int f(u) \, du = \frac{1}{a} F(u) + C \)

 \(= \frac{1}{a} F(ax + b) + C\)

• Vậy chọn đáp án \( \boxed{B} \)

page 6


4. Bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp:

1) \( \int dx = x + C       \quad \quad \int du = u + C \)
2) \( \int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C       \quad \quad \quad \int u^\alpha du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \)
\((\alpha \neq -1)\)

Ví dụ:  

1) \( \int (x^3 + 2x^2 - 3x + 4) dx \)

2) \( \int \sqrt{x} \, dx  \)

3) \( \int \frac{1}{x^2} dx  \)

4)  Tính \( f(u) \), biết \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \) và \( f(1) = 3 \)
        A. \( f(x) = 0 \quad \)             B. \( f(x) = 6 \)  
        C. \( f(x) = 5 \quad \)             D. \(f(x) = 4 \)

\( f(x) = \int \frac{1}{x\sqrt{x}} dx = \int x^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} + C = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C \)  

•  \(f(1) = -2 + C = 3 \implies C = 5 \)

•  \(f(x) = -\frac{2}{\sqrt{x}} + 5 \implies f(4) = 4  \)

Vậy chọn đáp án \( \boxed{D} \)

page 7


 

\(•  \int u'u^\alpha \, du = \int u^\alpha \, dx = \frac{u^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C, \alpha \neq -1 \)

 

4) \(\int \cos{x} \sin^2{x} \, dx \)

HS sáng tác, dựa vào \( \int u'u^\alpha \, dx \)

5) \(\int \frac{1}{x} \ln x \, dx \quad \)
6) \(\int (1 + \tan^2 x) \tan^3 x \, dx \quad \)

Để ý: \( \int (1 + \tan^2 x) \tan^3 x \, dx = \int (\tan^3 x + \tan^5 x) \, dx \)


• Rút ra:

\(\int (\tan^n x + \tan^{n+2} x) \, dx = \int (1 + \tan^2 x) \tan^n x \, dx = \frac{\tan^{n+1} x}{n+1} + C \quad \)

7)  \(\int \frac{\sin^3 x}{\cos^5 x} \, dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} (\tan^3 x) \, dx = \quad \)   
    (ĐMGTVT.HCM.2000) 

page 8 


Bài tập: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{2}{\sqrt{x+1}} \)
A. \(F(x) = 4\sqrt{x+1} \quad \)
B. \(F(x) = 2\sqrt{x+1} \)
C. \(F(x) = \sqrt{x+1} \quad \)
D. \(F(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}} \)

Đáp án:

Nhẩm đạo hàm \( F'(x) \implies\) Chọn đáp án \boxed{A}\)

 

Bài tập: Một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sqrt[3]{3x+1} \) là 
A. \( F(x) = \frac{1}{3} \sqrt[3]{3x+1} \quad \)
B. \( F(x) = \frac{1}{3} (3x+1) \sqrt[3]{3x+1}\) 
C. \( F(x) = \frac{1}{4} (3x+1) \sqrt[3]{3x+1} \quad \)
D. \( F(x) = \frac{1}{12} (3x+1) \sqrt[3]{3x+1} \) 

Đáp án: 

• Đặt \( u = 3x+1 \) ⟹ \( du = 3dx \) 

• \( \int \sqrt[3]{3x+1} \, dx = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3}} \, du = \frac{1}{3} \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{1}{4} u \sqrt[3]{4}+ C \) 

\( = \frac{1}{4} (3x+1) \sqrt[3]{3x+1} + C\)

• Vậy chọn đáp án \( \boxed{C} \)

page 9