Bài tập: Xác định \( a, b, c \) sao cho \( g(x) = (a x^2 + b x + c) \sqrt{2x - 3} \)
là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{5x^2 - 3}{\sqrt{2x - 3}} \)
A. \( \begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \\ c = -3 \end{cases} \) B. \( \begin{cases} a = 1 \\ b = -2 \\ c = 3 \end{cases} \) C. \( \begin{cases} a = 1 \\ b = -2 \\ c = -3 \end{cases} \) D. \( \begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \end{cases} \)
Đáp án:
• \( g'(x) = \frac{5a x^2 + (3b - 6a)x + c - 3b}{\sqrt{2x - 3}} = \frac{5x^2 - 3}{\sqrt{2x - 3}} \)
• \(\quad \Leftrightarrow \quad\) \(\begin{cases}
5a = 5 \\
3b - 6a = 0 \\
c - 3b = -3
\end{cases}
\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases}
a = 1 \\
b = 2 \\
c = 3
\end{cases} \)
• Vậy chọn đáp án \( \boxed{D} \)
page 5
Bài tập: Cho \( \int f(x) \, dx = F(x) + C \). Khi đó với \( a \neq 0 \), \( \int f(ax + b) dx\) bằng:
A. \( a F(ax + b) + C \quad \)
B. \( \frac{1}{a} F(ax + b) + C \)
C. \( F(ax + b) + C \) \( \quad \)
D. \( \frac{1}{2a} F(ax + b) + C \).
Đáp án:
• Đặt \( u = ax + b \Rightarrow du = a \, dx \Rightarrow dx = \frac{1}{a} \, du \)
• \( \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \int f(u) \, du = \frac{1}{a} F(u) + C \)
\(= \frac{1}{a} F(ax + b) + C\)
• Vậy chọn đáp án \( \boxed{B} \)
page 6
4. Bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp:
1) \( \int dx = x + C \quad \quad \int du = u + C \)
2) \( \int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \quad \quad \quad \int u^\alpha du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \)
\((\alpha \neq -1)\)
Ví dụ:
1) \( \int (x^3 + 2x^2 - 3x + 4) dx \)
2) \( \int \sqrt{x} \, dx \)
3) \( \int \frac{1}{x^2} dx \)
4) Tính \( f(u) \), biết \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \) và \( f(1) = 3 \)
A. \( f(x) = 0 \quad \) B. \( f(x) = 6 \)
C. \( f(x) = 5 \quad \) D. \(f(x) = 4 \)
\( f(x) = \int \frac{1}{x\sqrt{x}} dx = \int x^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} + C = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C \)
• \(f(1) = -2 + C = 3 \implies C = 5 \)
• \(f(x) = -\frac{2}{\sqrt{x}} + 5 \implies f(4) = 4 \)
Vậy chọn đáp án \( \boxed{D} \)
page 7
\(• \int u'u^\alpha \, du = \int u^\alpha \, dx = \frac{u^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C, \alpha \neq -1 \)
4) \(\int \cos{x} \sin^2{x} \, dx \)
HS sáng tác, dựa vào \( \int u'u^\alpha \, dx \)
5) \(\int \frac{1}{x} \ln x \, dx \quad \)
6) \(\int (1 + \tan^2 x) \tan^3 x \, dx \quad \)
Để ý: \( \int (1 + \tan^2 x) \tan^3 x \, dx = \int (\tan^3 x + \tan^5 x) \, dx \)
• Rút ra:
\(\int (\tan^n x + \tan^{n+2} x) \, dx = \int (1 + \tan^2 x) \tan^n x \, dx = \frac{\tan^{n+1} x}{n+1} + C \quad \)
7) \(\int \frac{\sin^3 x}{\cos^5 x} \, dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} (\tan^3 x) \, dx = \quad \)
(ĐMGTVT.HCM.2000)
page 8
Bài tập: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{2}{\sqrt{x+1}} \)
A. \(F(x) = 4\sqrt{x+1} \quad \)
B. \(F(x) = 2\sqrt{x+1} \)
C. \(F(x) = \sqrt{x+1} \quad \)
D. \(F(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}} \)
Đáp án:
Nhẩm đạo hàm \( F'(x) \implies\) Chọn đáp án \boxed{A}\)
Bài tập: Một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sqrt[3]{3x+1} \) là
A. \( F(x) = \frac{1}{3} \sqrt[3]{3x+1} \quad \)
B. \( F(x) = \frac{1}{3} (3x+1) \sqrt[3]{3x+1}\)
C. \( F(x) = \frac{1}{4} (3x+1) \sqrt[3]{3x+1} \quad \)
D. \( F(x) = \frac{1}{12} (3x+1) \sqrt[3]{3x+1} \)
Đáp án:
• Đặt \( u = 3x+1 \) ⟹ \( du = 3dx \)
• \( \int \sqrt[3]{3x+1} \, dx = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3}} \, du = \frac{1}{3} \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{1}{4} u \sqrt[3]{4}+ C \)
\( = \frac{1}{4} (3x+1) \sqrt[3]{3x+1} + C\)
• Vậy chọn đáp án \( \boxed{C} \)
page 9