Đặt \( I = \int \frac{\sin x}{2 \cos x + 3 \sin x} \, dx \quad \text{và} \quad J = \int \frac{\cos x}{2 \cos x + 3 \sin x} \, dx \)

Ta có:  
\(
\begin{cases}
3I + 2J = \int dx = x + c \\
-2I + 3J = \int \frac{3 \cos x - 2 \sin x}{3 \sin x + 2 \cos x} \, dx = \ln |3 \sin x + 2 \cos x| + c
\end{cases}
\)

\( \Rightarrow I = \frac{1}{13} \left[ 3x - 2 \ln |3 \sin x + 2 \cos x| \right] + c \)

\( J = \frac{1}{13} \left[ 3 \ln |3 \sin x + 2 \cos x| + 2x \right] + c. \)

page55

---

Đặt \( I = \int \frac{\sin x}{2 \sin x + 3 \cos x} \, dx \quad \text{và} \quad J = \int \frac{\cos x}{2 \sin x + 3 \cos x} \, dx \)

Tính \( I \) và \( J \), suy ra: \( 3I - 5J = K \)

page56

---

\( \int \frac{x^2 (1 + 2e^x) + e^x}{1 + 2e^x} \, dx = \int \left( x^2 + \frac{e^x}{1 + 2e^x} \right) dx \)

\( = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{2} \ln (1 + 2e^x) + c. \)

page57

---

* Tích phân của hàm số vô tỉ đơn giản (chỉ chứa một căn thức)

Đặt \( A = \sqrt{2 + x} \Rightarrow x = t^2 - 2 \Rightarrow dx = 2t \, dt \).

\( \int \frac{1}{1 + \sqrt{2 + x}} \, dx = \int \frac{2t}{t + 1}\,dt = \int \frac{2(t + 1) - 2}{t + 1} \, dt \)

\( = \int \left( 2 - \frac{2}{t + 1} \right) dt = 2t - 2 \ln |t + 1| + c \)

\( = 2\sqrt{2 + x} - 2 \ln (\sqrt{2 + x} + 1) + c. \)

page58 

---

Đặt \( t = \sqrt{2x + 1} \Rightarrow x = \frac{1}{2}(t^2 - 1) \Rightarrow dx = t \, dt \).

\( \int \frac{4x - 1}{2 + \sqrt{2x + 1}} \, dx = \int \frac{(2t^2 - 3)t \, dt}{t + 2} = \int \frac{2t^3 - 3t}{t + 2} \, dt \)

\( = \int \left( 2t^2 - 4t + 5 - \frac{10}{t + 2} \right) dt \)

\( = \frac{2t^3}{3} - 2t^2 + 5t - 10 \ln|t + 2| + C \)

Làm thêm.

a) \( \int x^3 \sqrt{1 + x^2} \, dx \)

b) \( \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 + 4}} \, dx \quad (2003.A) \)

c) \( \int x \sqrt{2 - x^2} \, dx \quad (2013.B) \)

page59

---