*Phương pháp nguyên hàm từng phần:

Cho \( u \) và \( v \) là hai hàm nối có đạo hàm. Lúc đó:

\( d(uv) = u \, dv + v \, du \)

\( \Rightarrow \int d(uv) = \int u \, dv + \int v \, du \)

Nhất log nhì đa tam mũ tứ lượng! (Xem trang sau)

Đặt \(
\begin{cases} 
u = \ln x \\ 
dv = dx 
\end{cases} 
\quad \Rightarrow \quad 
\begin{cases} 
du = \frac{1}{x} \, dx \\ 
v = x 
\end{cases}
\)

\( \int \ln x \, dx = x \ln x - \int dx = x \ln x - x + C \)

\( = x (\ln x - 1) + C \)

page75 

---

⚠️ Cách đặt \( u \) và  \(dv\)  trong tích phân từng phần.

\(*\int {f(x) = g(x) } dx \) với \(f(x), g(x)\)  là hai hàm trong bốn hàm: logarit (log), đa thức (đa), lượng giác (lượng), mũ (mũ), phải dùng phương pháp tích phân từng phần.

page76

---

Đặt:  \(\begin{cases}  
u = \ln^2 x &  \\  
dv = dx &   
\end{cases} \Rightarrow\) \(\begin{cases}
du = \frac{2}{x} \ln x \, dx \\
v = x
\end{cases}\)
\(\int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - 2 \int \ln x \, dx\)

 

page77 

---

Đặt:  \(\begin{cases}  
u = \ln^2 x &  \\  
dv = x^3 dx &   
\end{cases} \Rightarrow\) \(\begin{cases}
du = \frac{2}{x} \ln x \\
v = \frac{x^4}{4}
\end{cases}\)

\(\int x^3 \ln^2 x \, dx = \frac{x^4}{4} \ln^2 x - \frac{1}{2} \int x^3 \ln x \, dx\)

Đặt:  \(\begin{cases}  
u = \ln x &  \\  
v = x^3 dx &   
\end{cases} \Rightarrow\) \(\begin{cases}
du = \frac{1}{x} \ln x \\
v = \frac{x^4}{4}
\end{cases}\)

\(I = \frac{x^4}{4} \ln^2 x - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} \ln x - \int \frac{x^3}{4} \, dx \right]\)

\(I = \frac{x^4}{4} \ln^2 x - \frac{1}{8} x^4 \ln x - \frac{x^4}{16} + c\)

page78 

---

\(I = \int x^3 \ln^2 x \, dx + 2 \int \frac{1}{x} \ln^2 x \, dx \) 

 

\(I = \int x (\ln^2 x + 3 \ln x) \, dx + \int \frac{1}{x} (\ln^2 x + 3 \ln x) \, dx\) 

page79