Đáp án:

• Đặt \( \begin{cases} 
u = 1 + \ln(x+1) \\ 
dv = \frac{1}{x^2} \, dx 
\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 
\begin{cases} 
du = \frac{1}{x+1} \, dx \\ 
v = -\frac{1}{x}
\end{cases} \)

• \( I = -\frac{1}{x} (1 + \ln(x+1)) + \int \frac{1}{x(x+1)} \, dx \)

   \( = -\frac{1}{2} (1 + \ln(x+1)) + \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) \, dx \)

   \( = -\frac{1}{2} (1 + \ln(x+1)) + \ln \left| \frac{x}{x+1} \right| + C \)

page 80

Đáp án:

• Đặt \( \begin{cases} 
u = \ln x \\ 
dv = \frac{x^2 - 1}{x^2} \, dx = \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) \, dx 
\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 
\begin{cases} 
du = \frac{1}{x} \, dx \\ 
v = x + \frac{1}{x} 
\end{cases} \)

• \( I = \left(x + \frac{1}{x}\right) \ln x - \int \left(x + \frac{1}{x}\right) \frac{1}{x} \, dx \)

   \(= \left(x + \frac{1}{x}\right) \ln x - \int \left(1 + \frac{1}{x^2}\right) \, dx \)

   \(= \left(x + \frac{1}{x}\right) \ln x - \left(x - \frac{1}{x}\right) + C\)

Đáp án:

• \( \begin{cases} 
u = 3 + \ln x \\ 
dv = \frac{1}{(x+1)^2} \, dx 
\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 
\begin{cases} 
du = \frac{1}{x} \, dx \\ 
v = -\frac{1}{x+1}
\end{cases} \)

page 81

Đáp án:

• Đặt  \( \begin{cases} 
u = \ln(x^2 - x) \\ 
dv = dx 
\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 
\begin{cases} 
du = \frac{2x - 1}{x^2 - x} \, dx \\ 
v = x
\end{cases} \)

• \( I = x \ln(x^2 - x) - \int \frac{2x - 1}{x-1} \, dx \)

• \( I = x \ln(x^2 - x) - \int \left( 2 + \frac{1}{x - 1} \right) \, dx \)

• \( I = x \ln(x^2 - x) - 2x - \ln|x - 1| + C\)

page 82

Đáp án:

• Đặt  \( \begin{cases} 
u = \ln(\sin x) \\ 
dv = \frac{1}{\cos^2 x} \, dx 
\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 
\begin{cases} 
du = \frac{\cos x}{\sin x} \, dx \\ 
v = \tan x 
\end{cases} \)

•  \( I = \tan x . \ln(\sin x) - \int dx \)

    \( = \tan x .\ln(\sin x) - x + C \)

page 83

Đáp án:

• Đặt \( \begin{cases} 
u = \ln(1 + \cos x) \\ 
dv = \cos x \, dx 
\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 
\begin{cases} 
du = \frac{-\sin x}{1 + \cos x} \, dx \\ 
v = \sin x 
\end{cases} \)

• \( I = \sin x \ln(1 + \cos x) + \int \frac{\sin^2 x}{1 + \cos x} \, dx \)

   \(= \sin x \ln(1 + \cos x) + \int (1 - \cos x) \, dx \)

   \(= \sin x \ln(1 + \cos x) + x - \sin x + C \)

page 84