Nguyên hàm bài tập phần 2

Bài tập: Nguyên hàm \( F(x)\) của hàm số \( f(x) = x\sqrt{1+x^2} \) thỏa mãn điều kiện \( F(\sqrt{3}) = 2 \) là: 
A. \( F(x) = \frac{1}{3}(\sqrt{1+x^2})^3 - \frac{2}{3} \quad\)
B. \( F(x) = \frac{2}{3}\sqrt{1+x^2} + \frac{2}{3} \) 
C. \( F(x) = \frac{2}{3}(\sqrt{1+x^2})^3 - \frac{2}{3} \quad\) 
D. \( F(x) = \frac{2}{3}(\sqrt{1+x^2})^3 + \frac{8}{9} \) 

Đáp án:

• \( F(x) = \int x\sqrt{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int (2x(1+x^2)^{\frac{1}{2}}) \, dx \) 

\( = \frac{1}{2} \frac{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (1+x^2)\sqrt{1+x^2} + C \) 

• \( F(\sqrt{3}) = \frac{8}{3} + C = 2 \implies C = -\frac{2}{3} \)

• Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)

Thêm:

•  \( \int \cos x \sqrt{1+2\sin x} \, dx \) 

•  \( \int x^3 (1+x^4)^5 \, dx \)

page 10


3) • \(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C\), \(\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C\)
    • \(\int \frac{u'}{u} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C\) 


a) \(\int \frac{1}{3x-2} \, dx\) 

• \( \int \frac{1}{ax+b} \, dx = \frac{1}{a} \ln |ax+b| + C \) 

b) \(\int \frac{4x-3}{x-2} \, dx\) 

c) \(\int \frac{x+2}{2x-1} \, dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x-1)+\frac{5}{2}}{2x-1} \, dx\) 

d) \(\int \frac{x^2 - 3x + 4}{x-1} \, dx\) 

Bài tập: Tính \(f(3)\), biết \(f'(x) = \frac{x}{x^2+1}\) và  \(f(1) = \ln 2\) 
A. \(f(3) = \ln 20 \quad \)
B. \(f(3) = \frac{1}{2} \ln 20\) 
C. \(f(3) = \frac{1}{2} \ln 5 \quad\) 
D. \(f(3) = \frac{1}{2} \ln 10\) 

Đáp án:

•  \( f(x) = \int \frac{x}{x^2+1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx = \frac{1}{2} \ln |x^2+1| + C \) 

•  \( f(1) = \frac{1}{2} \ln 2 + C = \ln 2 \Leftrightarrow C = \frac{1}{2} \ln 2  \) 

•  \(f(x) = \frac{1}{2} \ln |x^2+1| + \frac{1}{2} \ln 2 \Leftrightarrow 
f(3) = \frac{1}{2} \ln 10 + \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{1}{2} \ln 20\)

Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 11


f) \(\int \tan x \, dx\) 

 

g) \(\int \tan^3 x \, dx. \quad \int \tan^2 x \, dx \) 

 

h) \(\int \frac{1}{\sin x \cos x} \, dx = \int \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\tan x} \, dx = \ln |\tan x| + C\) 

  •   \(\int \frac{1}{\sin 2x} \, dx\) 

   •    \(\int \frac{1}{\sin x} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{  \tan \frac{x}{2}} \, dx = \ln |\tan \frac{x}{2}| + C\) 

i) \(\int \frac{1}{x \ln x} \, dx = \ln |\ln x| + C\) 

 

k) \(\int \frac{\cos x}{3\sin x - 4} \, dx\) 

 

e) \(\int \frac{2x+3}{x^2} \, dx\) 

page 12 


4) \(\int e^x \, dx = e^x + C, \quad \int e^u \, du = e^u + C\) 
\(\int u' e^u \, dx = \int e^u \, du = e^u + C\) 

a) \(\int e^{3x+1} \, dx\) 

b) \(\int \cos x \, e^{\sin{x}} \, dx\) 

c) \(\int \frac{e^x}{1+e^x} \, dx\) 

d) \(\int \frac{1}{1+e^x} \, dx\) (thêm bớt) 

page 13


5) \(a > 0, a \neq 1\): 
\(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \quad \int a^u \, du = \frac{a^u}{\ln a} + C\) 

Ví dụ: 

            \(\int (x^3 + 3^x) \, dx\) 
 

6) \(\int \cos x \, dx = \sin x + C, \quad \int \cos u \, du = \sin u + C\) 
\(\int \sin x \, dx = -\cos x + C, \quad \int \sin u \, du = -\cos u + C\) 

• \(\int u' \cos u \, dx = \int \cos u \, du = \sin u + C\) 

• \(\int \cos ax \, dx = \frac{1}{a} \sin ax + C\) 

•  \(\int u' \sin u \, dx = \int \sin u \, du = -\cos u + C\) 

• \(\int \sin ax \, dx = -\frac{1}{a} \cos ax + C\)  

page 14