• Đặt \( u = 1 + x^2 \)
• Đặt \( u = 1 - x^2 \)
page 30
• Gặp \( \int x f(x^2) \, dx \), đặt \( t = x^2 \)
Đáp án:
• \( \int x .\frac{x^2}{x^4 + 3x^2 + 2} \, dx = \int u f(u) \, du \, \text{ với } u = x^2 \)
• Đặt \( t = x^2 \implies dt = 2x \, dx \)
• \( \int \frac{x^3}{x^4 + 3x^2 + 2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{t}{(t + 1)(t + 2)} \, dt \)
• \(
\left(\frac{t}{(t + 1)(t + 2)} = \frac{A}{t + 1} + \frac{B}{t + 2} \implies
\begin{cases}
A = -1 \\
B = 2
\end{cases}\right)
\)
\( = \frac{1}{2} \int \left( -\frac{1}{t + 1} + \frac{2}{t + 2} \right) dt = \ln|t + 2| - \frac{1}{2} \ln|t + 1| + C \)
\( = \ln(x^2 + 2) - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \)
page 31
Đáp án:
• \( \int \frac{1}{x(x^3 + 1)} \, dx = \int \frac{x^2}{x^3(x^3 + 1)} \, dx \)
• Đặt \( t = x^3 \implies dt = 3x^2 \, dx \)
• \( \int \frac{x^2}{x^3(x^3 + 1)} \, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{t(t + 1)} \, dt \)
\( = \frac{1}{3} \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} \right) \, dt = \frac{1}{3} \ln \left| \frac{t}{t + 1} \right| + C \)
Cách 2: Thêm bớt
• \( \int \frac{1}{x(x^3 + 1)} \, dx = \int \frac{1 + x^3 - x^3}{x(x^3 + 1)} \, dx \)
\( = \int \frac{1}{x} \, dx - \int \frac{x^2}{x^3 + 1} \, dx. \)
page 32
Đáp án:
• Cách 1: Đặt \( t = x^3 \implies dt = 3x^2 \, dx \)
• \( \int x^5 (1 - x^3)^8 \, dx = \frac{1}{3} \int t (1 - t)^8 \, dt \quad\) (xem bài 2)
• Cách 2: Đặt \( t = 1 - x^3 \)
• \( \int x^5 (1 - x^3)^8 \, dx = \frac{1}{3} \int (t^9 - t^8) \, dt \)
Đáp án:
• Đặt \( t = x^2 \)
• \( I =\frac{1}{2} \int \frac{t - 3}{t (t^2 + 3t + 2)} \, dt = \frac{1}{2} \int \frac{t - 3}{t (t + 1)(t + 2)} \, dt \)
• \( \frac{t - 3}{t (t + 1)(t + 2)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t + 1} + \frac{C}{t + 2} \implies
\begin{cases}
A = -\frac{3}{2} \\
B = 4 \\
C = -\frac{5}{2}
\end{cases} \)
page 33
Đáp án:
• \( \int \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x} \, dx = \int \sin x \frac{ (1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x} \, dx \)
• Đặt \( t = \cos x \Rightarrow dt = -\sin x \, dx \)
• \( I = \int \frac{t^2 - 1}{t^2} \, dt = t + \frac{1}{t} + C = \cos x + \frac{1}{\cos x} + C \)
page 34