Vi phân

Định nghĩa: Vi phân của hàm số \( y = f(x) \) là \( dy = f'(x) \, dx \quad \text{hay} \quad dy = y' \, dx. \)

Ví dụ:  
a) \( y = \sin x   \Rightarrow dy = \cos x \, dx \)

b) \( u = \ln x    \Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx \)

c) \( t = \sqrt{x}  \Rightarrow dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx \)

\( \boxed{\mathbf{u' \, dx = du}} \)

page1

---

Định nghĩa:  Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm trong \((a, b)\). Vi phân của hàm \( f \) trong \((a, b)\)

\( dy = f'(x) \, dx. \)  
 \( dy = y' \, dx. \)

Ví dụ:  
a) \( y = \sin x  \Rightarrow dy = \cos x \, dx \)

b) \( u = \ln x  \Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx \)

c) \( t = \sqrt{x}  \Rightarrow dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx \)

Chú ý:  \( u' \, dx = du. \)

page2

---

Nguyên hàm

I. Định nghĩa
Hàm số \( F(x) \) gọi là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên \((a, b)\) nếu

\( F'(x) = f(x), \quad \forall x \in (a, b). \)

Ví dụ:  
1) \( F(x) = \frac{x^2}{2} \) là một nguyên hàm của \( f(x) = x \).  
   \( G(x) = \frac{x^2}{2} + 1 \) cũng là một nguyên hàm.

Định lý:  
Nếu \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \) thì mọi nguyên hàm khác của \( f(x) \) đều có dạng \( F(x) + C \).

Ký hiệu:  
\( \int f(x) \, dx = F(x) + C\): họ nguyên hàm của \( f(x)\) .

page3

---

II. Các tính chất của nguyên hàm  

1) \( \left( \int f(x) \, dx \right)' = f(x) \)

2) \( \int \left( f(x) \pm g(x) \right) \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx \)

3) \( \int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx \)

4) Nếu \( \int f(u) \, du = F(u) + C \) thì \( \int f(x) \, dx = F(x) + C. \)

page4