Phương trình đường thẳng - Bài tập phần 12

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Phương trình đường thẳng - Bài tập phần 12

Bài tập: Đường thẳng \( \Delta \) qua điểm \( A(3, -1, 2) \) vuông góc với đường thẳng \( d: \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{-3} \) và song song với mặt phẳng \( (P): 2x - y + z - 2 = 0 \), có vectơ chỉ phương là:

\(A. (1, -4, 2) \quad B. (0, 4, 2) \quad C. (1, 4, 2) \quad D. (1, -4, -2) \)

Đáp án:

\( \begin{cases} \vec{u}_\Delta \perp \vec{u}_d = (2, 1, -3) \\ \vec{u}_\Delta \perp \vec{n}_P = (2, -1, 1) \end{cases} \)

\( \vec{u}_\Delta = (-2, -8, -4) \parallel (1, 4, 2). \)

Chọn \( \boxed{C}. \)

page57

Bài tập: Cho 2 đường thẳng: \( d_1: \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 1}{3} \) , \( d_2: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2} \) và mặt phẳng \( P: x - y - 2z + 3 = 0 \). Đường thẳng \( \Delta \subset \text{mp } P \) và \( \Delta \) cắt \( d_1, d_2 \), \( \Delta \) có vectơ chỉ phương là:

\(A. (1, 3, -1) \quad B. (1, 1, 1) \quad C. (1, 3, 1) \quad D. (-1, 3, -1) \)

Đáp án:

- Giao điểm \( A \) của \( d_1 \) và \( \text{mp } P \):
\( \begin{cases}
-x - 2y = -1 \\
x - 2z = -3 \\
x - y - 2z = -3
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x = 1 \\
y = 0 \\
z = 2
\end{cases}
\Rightarrow A(1, 0, 2). \)

- Giao điểm \( B \) của \( d_2 \) và \( \text{mp } P \):
\( \begin{cases}
x - y = -1 \\
2x - z = 3 \\
x - y - 2z = -3
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x = 2 \\
y = 3 \\
z = 1
\end{cases}
\Rightarrow B(2, 3, 1). \)

\( \vec{u}_\Delta = \overrightarrow{AB} = (1, 3, -1) \Rightarrow \boxed{A}. \)

page58

Bài tập: Đường thẳng \( \Delta \) nằm trong mp \( Oxy \) cắt cả 2 đường thẳng: \( d_1:
\begin{cases}
x = 1 + t \\
y = 2 + 3t \\
z = 3 - t
\end{cases}
\) và \( d_2:
\begin{cases}
x = 2 - 2t \\
y = -3 + 2t \\
z = 1 + t
\end{cases}
\) có phương trình là:

\(A. \begin{cases} x = 4 \\ y = t \\ z = t \end{cases} \quad B. \begin{cases} x = t \\ y = 4 \\ z = 0 \end{cases} \quad C. \begin{cases} x = 4 \\ y = t \\ z = 0 \end{cases} \quad D. \begin{cases} x = 4 + t \\ y = -13t \\ z = 0 \end{cases} \)

Đáp án:

- Pt mp \( Oxy \): \( z = 0 \).

- Giao điểm của \( d_1 \) và mp \( Oxy \): \( A(1, 8, 0). \)

- Giao điểm của \( d_2 \) và mp \( Oxy \): \( B(4, -5, 0). \)

- Suy ra pt \( \Delta \): \( \begin{cases} x = 4 \\ y = t \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow \boxed{C}. \)

page59

Bài tập: Cho đường thẳng \( d: \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{-5} \) và mặt phẳng \( D: 2x + y + z - 8 = 0 \). Đường thẳng \( \Delta \) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \( d \) xuống mặt phẳng \( P \), có vectơ chỉ phương là:

\(A. (1, -2, -4) \quad B. (-1, 2, -4) \quad C. (1, 2, -4) \quad D. (1, 1, -2) \)

Đáp án:

- Mp \( Q \) chứa \( d \) và \( \text{mp } Q \perp \text{mp } P \) có:
\( \vec{n}_Q = \left[\begin{split} \vec{u}_d =(2, 3, -5) \\ \vec{n}_P = (2, 1, 1) \end{split} \right] = (8, -12, -4) \parallel (2, -3, -1). \)

\( \vec{u}_\Delta = \left[\begin{split} \vec{n}_Q=(2, -3, -1) \\ \vec{n}_P= (2, 1, 1)\end{split} \right] = (-2, -4, 8) \parallel (1, 2, -4). \)

Chọn \( \boxed{C}. \)

page60

Bài tập: Trong không gian \( Oxyz \), cho đường thẳng: \( \Delta: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{5} = \frac{z - 1}{-1} \) và mặt phẳng \( (P): 2x + y + z = 0 \). Đường thẳng đối xứng với \( \Delta \) qua \( (P) \) có phương trình là:

A. \( \frac{x + 3}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{-1} \)
B. \( \frac{x}{3} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 2}{-1} \)
C. \( \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 1}{1} \)
D. \( \frac{x + 4}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z + 2}{1} \)

Đáp án:

- Gọi \( M \) là giao điểm của \( \Delta \) và \( (P) \):
\( M \in \Delta \Rightarrow M(1 + t, 3 + 5t, 1 - t). \)
\( M \in (P) \Rightarrow 2(1 + t) + 3 + 5t + 1 - t = 0 \Rightarrow t = -1. \)
\( \Rightarrow M(0, -2, 2). \)

- Gọi \( N(1, 3, 1) \in \Delta \).

- Gọi \( d \) là đường thẳng qua \( N \) và vuông góc với \( (P) \):
\( d: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 1}{1}. \)

- Gọi \( H \) là giao điểm của \( d \) và \( (P) \):
\( H(1 + 2t, 3 + t, 1 + t) \in d. \)
\( H \in (P) \Rightarrow 2(1 + 2t) + 3 + t + 1 + t = 0 \Rightarrow t = -1. \)
\( \Rightarrow H(-1, 2, 0). \)

- Gọi \( Q \) là điểm đối xứng của \( N \) qua \( H \):
\( \begin{split} x_H = \frac{x_N + x_Q}{2} \Rightarrow \quad &x_Q = 2x_H - x_N = -3 \\ &y_Q = 2y_H - y_N = 1 \\ &z_Q = 2z_H - z_N = -1 \end{split} \Rightarrow Q(-3, 1, -1). \)

Đường thẳng đối xứng với \( \Delta \) qua \( (P) \), qua \( M(0, -2, 2) \), có vectơ chỉ phương:
\( \vec{M}_Q = (-3, 3, -3) \parallel (1, -1, 1). \)

Chọn \( \boxed{D}: \text{Vì } M(0,-2,2) \text{ nằm trên đường thẳng } \frac{x + 4}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z + 2}{1}. \)

page61