Phương trình đường thẳng - Bài tập phần 13

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Phương trình đường thẳng - Bài tập phần 13

Bài tập: Đường thẳng \( \Delta \) qua điểm \( A(0, -1, 2) \), cắt 2 đường thẳng: \( d_1: \frac{x}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{2}, \quad d_2: \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 1}{2}, \) có vectơ chỉ phương là:

\( A. (12, 13, 17) \quad B. (8, -13, 17) \quad C. (8, 13, 12) \quad D. (8, 13, 17) \)

Đáp án:

\( B(0, -2, 1) \in d_1: \text{ Mp}(A, d_1) \text{ có vectơ pháp: } \vec{n}_1 = \left[\begin{split} \vec{u}_{d_1}=(2, 1, 2) \\ \overrightarrow{AB} = (0, -1, -1) \end{split} \right] = (1, 2, -2). \)

\( C(-1, 3, 1) \in d_2: \text{ Mp}(A, d_2) \text{ có vectơ pháp: } \vec{n}_2 = \left[\begin{split} \vec{u}_{d_2}=(1, 1, 2) \\ \overrightarrow{AC} = (-1, 4, -1) \end{split} \right] = (-9, -1, 5). \)

\( \vec{u}_\Delta = \left[\begin{split} \vec{n}_1=(1, 2, -2) \\ \vec{n}_2=(-9, -1, 5) \end{split} \right] = (8, 13, 17). \)

Chọn \( \boxed{D}. \)

Cách 2:
\( \Delta = \text{mp}(A, d_1) \cap \text{mp}(A, d_2) \).

Mp \( (A, d_1) \): Qua \( A(0, -1, 2), B(0, -2, 1), C(2, -1, 3) \).
\( \Rightarrow \text{mp}(A, d_1): -x - 2y + 2z - 6 = 0. \)

Mp \( (A, d_2) \): Qua \( A(0, -1, 2), D(-1, 3, 1), E(0, 4, 3) \).
\( \Rightarrow \text{mp}(A, d_2): -9x - y + 5z - 11 = 0. \)

\( \vec{u}_\Delta = \left[\begin{split} \vec{n}_1 =(-1, -2, 2) \\ \vec{n}_2 = (-9, -1, 5)\end{split} \right] = (8, 13, 17). \)

\( \vec{u}_\Delta = (8, 13, 17). \)

page62

Bài tập: Đường thẳng \(\Delta\) qua điểm \(A(1,2,3)\) cắt đường thẳng \(d_1: \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{1} \), và vuông góc với đường thẳng \(d_2: \frac{x-2}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}{1} \) có vector chỉ phương là:

\( A. (-5, 9, 15) \quad B. (-1, 9, 15) \quad C. (-3,-9,15) \quad D. (1,-3,-5) \)

Đáp án:

\(B(1,1,-1) \in d_1\)

\(mp(A,d_1) \) có vector pháp tuyến:

\( \vec{n} = \left[ \begin{split} &\vec{u_{d_1}} = (-1, 2, 1) \\ &\vec{AB} = (0,-1,-4) \end{split} \right] = (-7,-4,1)\)

\(mpP\) qua A vuông góc với \(d_2\) có \(\vec{n_P}=(2,-1,1) \)

\( \Rightarrow \vec{u_\Delta} = [\vec{n}, \vec{n_P}] = (-3,9,15) \| (1,-3,-5) \Rightarrow \boxed{D}\)

Cách 2:

\(Mp(A, d_1)\) qua \(A(1,2,3), B(1,1,-1), C(0,3,0) \) có phương trình: \( 7x + 4y - z - 12 = 0\)

\(\Rightarrow \vec{u_\Delta} = \left[ \begin{split} \vec{n_1} = (7,4,-1) \\ \vec{n_2} = (2,-1,1) \end{split} \right] = (3,-9,-15)\)

page63

Bài tập: Trong không gian \( Oxyz \), cho \( A(1, 2, 3) \) và đường thẳng \( d: \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 7}{-2} \). Đường thẳng đi qua \( A \), \( d \), và cắt \( d \) có phương trình:

\(A. \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 3t \end{cases} \quad B. \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + 2t \end{cases} \quad C. \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = -2t \\ z = t \end{cases} \quad D. \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + 3t \end{cases} \)

(Câu 33 – Đề thi 2018)

Đáp án:

- Gọi \( \Delta \) là đường thẳng cần tìm và \( \Delta \cap Ox = B(a, 0, 0) \).
- \( \overrightarrow{u_\Delta} = \overrightarrow{AB} = (a - 1, -2, -3) \bot \overrightarrow{u_d} = (2, 1, -2) \).

\( \Leftrightarrow 2a - 2 - 2 + 6 = 0 \implies a = -1 \).
\( \Rightarrow \overrightarrow{u_\Delta} = (-2, -2, -3) \| (2,2,3)\).

Phương trình đường thẳng: \( \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 3t \end{cases} \Rightarrow \boxed{A}\).

page64

Bài tập: Đường thẳng \( \Delta \) qua điểm \( A(1, -1, 2) \), cắt đường thẳng \( d: \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{3} \), song song với mặt phẳng \( (P): 2x - y + 3z - 1 = 0 \), có vectơ chỉ phương là:

\( A. \ (1, 1, 1) \quad B. \ (-1, -1, 1) \quad C. \ (1, -1, 1) \quad D. \ (-1, 1, 1) \)

Đáp án:

\( B(2, -2, 1) \in d \).

\( \vec{n} = \left[\begin{split} \vec{u_d} = (1, -2, 3) \\ \vec{AB} = (1, -1, -1) \end{split} \right] = (5, 4, 1). \)

\(
\begin{cases}
\vec{u_\Delta} \perp \vec{u_d} = (2, -1, 3) \\
\vec{u_\Delta} \perp \vec{n} = (5, 4, 1)
\end{cases}
\) \( \Rightarrow \vec{u_\Delta} = \begin{bmatrix} \vec{u_d}, \vec{n} \end{bmatrix} = (-13, 13, 13)= (-1, 1, 1). \)

Chọn \(\boxed{D}\)

Cách 2

Mặt phẳng \((A, d)\) qua \( A(1, -1, 2), B(2, -2, 1), C(3, -4, 4) \) có phương trình: \( 5x + 4y + z - 3 = 0. \)

\( \vec{u_\Delta} = \left[\begin{split} \vec{n_1}=(5, 4, 1) \\ \vec{n_2}=(2, -1, 3) \end{split} \right] = (13, -13, -13). \)

page65

Bài tập: Cho mặt phẳng \( P: x + 2y + z - 4 = 0 \) và \( d: \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 4}{4} = \frac{z + 2}{3} \).
Đường thẳng \( \Delta \subset P \), \( \Delta \) cắt \( d \) và \( \Delta \perp d \), có phương trình:

\( A. \frac{x - 1}{5} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 1}{3} \quad
B. \frac{x - 1}{5} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 1}{-3} \)
\( C. \frac{x - 1}{5} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 1}{2} \quad
D. \frac{x + 1}{5} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 1}{3}. \)

Đáp án:

- \( d \) cắt mặt phẳng \( P \) tại \( I_2 \).
- \( \Delta \) là giao tuyến của mặt phẳng \( P \) và mặt phẳng \( Q \) qua \( I \) và \( \Delta \perp d \).

Giao điểm \( I \) của đường thẳng \( d \) và mặt phẳng \( P \):
\( \begin{cases}
x-2y = -1, \\
3x - 2y = -1 \\
x + 2y + z = 4
\end{cases} \Leftrightarrow I(1, 1, 1). \)

Mặt phẳng \( Q \) qua \( I(1, 1, 1) \perp d: 2x + y + 3z - 6 = 0 \).

\( \vec{u_\Delta} = \left[\begin{split} \vec{n_P} =(1, 2, 1) \\ \vec{n_Q}=(2, 1, 3) \end{split} \right] = (5, -1, -3) \Rightarrow \boxed{B} \)

page66