Bài tập: Cho điểm \( A(1, 1, 1) \) và 2 đường thẳng: \( d_1: \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 3}{1}, \quad d_2: \frac{x + 2}{7} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z + 2}{1}. \) Điểm \( M \in d_1 \), sao cho \( \overrightarrow{AM} \perp d_2 \), có tọa độ là:
\( A. M(1, 0, 3) \quad B. M(0, \frac{1}{2}, \frac{7}{2}) \quad C. M(3, 2, 5) \quad D. M(-3, -1, 2) \)
Đáp án:
Cách 1.
- \( M \in d_1 \implies M(-1 + 2t, t, 3 + t). \)
- \( \overrightarrow{AM} \perp d_2 \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = (-2 + 2t, t - 1, t+2) \perp \vec{u_{d_2}} = (1,3,1) \)
\(\Leftrightarrow (-2 + 2t +3t -3 +t+2= 0 \iff t = \frac{1}{2}\).
-\(\Leftrightarrow M(0,\frac{1}{2}, \frac{7}{2} \Rightarrow \boxed{B}\)
Cách 2:
- \( \overrightarrow{AM} \perp d_2 \implies M \in mpP \) qua \( A \perp d_2 \):
\( P: x + 3y + z - 5 = 0. \)
- \( M = d_1 \cap P \): \(
\begin{cases}
x-2y=-1\\ x-2z=-7 \\
x + 3y + z - 5 = 0.
\end{cases} \Leftritghtarrow \begin{cases}
0\\ \frac{1}{2}\\ \frac{7}{2} \end{cases}. \)
Cách 3: (Có thể mất nhiều thời gian). Thay tọa độ điểm M vào để thử
page72
Bài tập: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \( (P): x + y + z - 1 = 0 \) và hai đường thẳng: \( d_1: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+3}{1} \), \( d_2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+2}{3} \). Có bao nhiêu đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (P) \) và cắt cả \( d_1 \) lẫn \( d_2 \)?
\(A. 1 \quad B. 0 \quad C. \text{Vô số} \quad D. 2\)
* Giảng: Cho mặt phẳng \( (P) \) và 2 đường thẳng \( d_1, d_2 \) tùy ý. Có bao nhiêu đường thẳng \( \Delta \subset (P) \) sao cho \( \Delta \) cắt cả \( d_1 \) và \( d_2 \).
1) \( \begin{cases} d_1 \cap (P) = A \\ d_2 \cap (P) = B \\ A \not\equiv B \end{cases} \) \(\Rightarrow\) Chỉ có 1 đường thẳng \( \Delta \) (\( \Delta \) là đường thẳng \( AB \)).
2) \( \begin{cases} d_1 \cap (P) = A \\ d_2 \cap (P) = B \\ A \equiv B \end{cases} \) \(\Rightarrow\) Có vô số đường thẳng \( \Delta \) (\( \Delta \) qua \( A \) và \( \Delta \subset (P) \)).
3) \( \left[\begin{split} &d_1 \parallel (P) \\ &d_2 \parallel (P) \end{split} \right. \) \(\Rightarrow\) Không có đường thẳng \( \Delta \) nào.
4) \( \left[\begin{split} {\begin{cases} d_1 \subset (P) \\ d_2 \nparallel (P) \end{cases}} \\ {\begin{cases} d_2 \subset (P) \\ d_2 \nparallel (P) \end{cases}} \end{split} \right. \) \(\Rightarrow\) Có vô số đường thẳng \( \Delta \).
page73
* Tìm giao điểm \( A \) của \( d_1 \) và \( (P) \):
Bấm: \( (-1 + 2x) + (-3 - x) + (-3 + x) - 1 \).
\(\text{Shift} \to \text{Solve (for)} \to 0 to = \to x = 1 \Rightarrow A(1, 2, -2).\)
* Giao điểm của \( d_2 \) và \( (P) \):
Bấm: \( 1 + 2t + 2 + t - 2 + 3t - 1 \).
\(\text{Shift} \to \text{Solve (for)} \to 0 \to = \to x = 0 \Rightarrow B(1, 2, -2) \equiv A.\)
Vậy có vô số đường thẳng \( \Delta \) thỏa yêu cầu.
page74
Bài tập: Cho mặt phẳng \( (P): x - 2y + 3z + 1 = 0 \) và 2 đường thẳng: \( d_1: \frac{x+1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-1}{1} \), \( d_2: \frac{x}{-1} = \frac{y+1}{3} = \frac{z}{4} \). Có bao nhiêu đường thẳng \( \Delta \subset (P) \) sao cho \( \Delta \) cắt cả \( d_1 \) lẫn \( d_2 \)?
\(A. 0 \quad B. 1 \quad C. 2 \quad D. \text{Vô số} \)
Đáp án:
\(\vec{n}_P = (1, -2, 3)\)
\(\vec{u}_{d_1} = (1, 2, 1) \Rightarrow \vec{u}_{d_1} \perp \vec{n}_P \Rightarrow \left[ \begin{split} d_1 \subset (P) \\ d_1 \parallel (P) \end{split} \right.\).
\(d_1\) qua \(A(-1, 2, 1)\), nhưng \(A \notin (P) \Rightarrow d_1 \parallel (P)\).
Suy ra không có đường thẳng \( \Delta \) nào thỏa yêu cầu. (Chọn \( \boxed{A} \)).
Câu hỏi: Nếu thay mặt phẳng P bởi: \( x - 2y + 3z + 2 = 0 \), thì \(d_1 \subset (P)\). Khi đó: \(\vec{u}_{d_2} = (-1, 3, 4) \| \vec{n}_P = (1, -2, 3)\).
\(\Rightarrow\) Có vô số đường thẳng \( \Delta \) thỏa yêu cầu.
page75
Bài tập: Trong không gian Oxyz, cho 4 đường thẳng:
\( d_1: \frac{x+1}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{2}, \quad d_2: \frac{x-2}{-1} = \frac{y+2}{3} = \frac{z+1}{2}, \)
\( d_3: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z+3}{4}, \quad d_4: \frac{x}{3} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+1}{3}. \) Có bao nhiêu đường thẳng \( \Delta \) cắt cả 4 đường thẳng \( d_1, d_2, d_3, d_4 \)?
\(A. 0 \quad B. 1 \quad C. 2 \quad D. \text{Vô số} \)
Đáp án:
- \( d_1 \parallel d_3 \).
- \( d_2 \) đi qua \( M(-1, -1, 2) \), \( N(0, -2, 4) \).
- \( d_3 \) đi qua \( P(-1, 3, -3) \).
Mặt phẳng \((d_1, d_3)\): \( -3x + 5y + 4z - 6 = 0. \)
Giao điểm của \( d_2 \) và \((d_1, d_3)\):
Bấm: \( -3(2 - t) + 5(-2 + 3t) + 4(-1 + 2t) - 6 = 0. \)
\(\text{Shift} \to \text{Solve (for)} \to 0 \to = \to t = 1 \Rightarrow A = (1, 1, 1) \).
Giao điểm của \( d_4 \) và \((d_1, d_3)\):
Bấm: \( -3(3t) + 5(2 + t) + 4(-1 + 3t) - 6 = 0. \)
\(\text{Shift} \to \text{Solve (for)} \to 0 \to = \to t = 0 \Rightarrow B = (0, 2, -1) \).
\( \overrightarrow{AB} = (-1,1,-2) \parallel \vec{u}_{d_4}. \)
Suy ra không có đường thẳng \( \Delta \) nào thỏa yêu cầu \( \Rightarrow \boxed{A}\)
page76