Đáp án:

\( d_1 \parallel d_3 \).  
\( d_2 \) đi qua \( M(1, 2, 0) \), \( N(2, 2, -2) \).  
\( d_3 \) đi qua \( P(2, 2, 0) \).  

Mặt phẳng \((d_1, d_3)\): Bấm \( y - 2 = 0 \)  

Giao điểm của \( d_2 \) và mp\((d_1, d_3)\): \( A(4, 2, 0) \).  
Giao điểm của \( d_4 \) và mp\((d_1, d_3)\): \( B(4, 2, 0) \).  

\( A \equiv B \Rightarrow\) Có vô số đường thẳng \( \Delta \) thỏa yêu cầu.  

Nếu thay \( d_4 \) bởi:  \( \frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z+1}{1}. \)  

Thì: \( d_4 \cap \text{mp}(d_1, d_3) \) tại \( B(1, 2, -1) \).  
Khi đó \( \overrightarrow{AB} = (-3, 0, -1) \not\parallel d_1 \).  
\(\Rightarrow\) Có 1 đường thẳng \( \Delta \) thỏa yêu cầu.

page77

Đáp án:

Cách 1: \( M \in d \Leftrightarrow M(-1 + t, 1 + 2t, 2 + t) \).  

\( I(1, 3, -2) \) là trung điểm \( MN \Leftrightarrow N(-1 + 3, -2t + 5, -t - 6) \).  

\( N \in (P) \Leftrightarrow -t + 3  -4t + 10 + 3t +18 - 1 = 0.\)  

\(\Leftrightarrow -2t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 15 \Leftrightarrow  M(14, 31, 17) \Rightarrow \boxed{D}\)

Cách 2:

- M là giao điểm của đường thẳng \( d \) và mặt phẳng Q song song với mặt phẳng P sao cho \( d(I, (P)) = d(I, (Q)) \).
- \( A(1, 0, 0) \in (P) \).

- B là điểm sao cho \( I \) là trung điểm của \( AB \Rightarrow B(1, 6, -4) \).
- Mặt phẳng \( (Q) \) qua \( B(1, 6, -4) \| \) mpP có phương trình: \( x + 2y - 3z - 25 = 0 \).

- Tọa độ \( M \) thỏa hệ: \( \begin{cases} 2x - y = -3 \\ x - z = -3 \\ x + 2y - 3z = 25 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 14 \\ y = 31 \\ z = 17 \end{cases} \Rightarrow \boxed{D}\)

page78

Đáp án:

Mặt phẳng trung trực của \( AB \) qua \( I(2, 0, 1) \) có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{AB} = (2, 2, 2) \), có phương trình: \( \text{mp}(P): x + y + z - 3 = 0 \)

Giao điểm \( M \) của \( \Delta \) và \( \text{mp}(P) \) có tọa độ: \( \begin{cases} 4x + y = 7 \\ x + z = 0 \\ x + y + z = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \\ z = -1 \end{cases} \Rightarrow M(1, 3, -1) \)

\( M \in \Delta \Leftrightarrow M(2 - t, -1 + 4t, -2 + t) \)

\( MA = MB \):  
\( \Leftrightarrow (1 - t)^2 + 16t^2 + (-2 + t)^2 = (-1 - t)^2 + (-2 + 4t)^2 + (-4+t)^2 \)  

\( \Leftrightarrow 18t^2 - 6t + 5 = 18t^2 - 22t + 21 \Leftrightarrow 16t = 16 \Leftrightarrow t = 1 \) 

\( \Rightarrow M(1, 3, -1) \Rightarrow \boxed{A}\).

page79

Đáp án:

Cách 1: Thay tọa độ của \( A \), \( B \) vào vế trái của phương trình mặt phẳng \( P \): Kết quả thu được 2 giá trị trái dấu \( \Rightarrow A, B \) nằm ở hai phía khác nhau đối với \( P \).  

\( MA + MB \) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M \) là giao điểm của đường thẳng \( AB \) và mặt phẳng \( P \).  

Phương trình đường thẳng \( AB \): \( \begin{cases} x = 1 - 4t \\ y = 2 + 2t \\ z = 4 - 10t \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1-2t \\ y=2-t \\ z = 4-5t \end{cases} \) 

Giao điểm \( M \) của đường thẳng \( AB \) và mặt phẳng \( P \):  
\( (1 - 2t) + (2 + t) + (4 - 5t) - 1 = 0 \Leftrightarrow 6 - 6t = 0 \Leftrightarrow t = 1\Leftrightarrow  M(-1, 3, -1) \Rightarrow \boxed{C}\)

Cách 2: 

\( AB \): \( \frac{x - 1}{-4} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 4}{-10} \Leftrightarrow \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 4}{5} \) 

\(M:  \begin{cases} -x - 2y = -5 \\ 5x - 2z = -3 \\ x + y + z = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -1 \\ y = 3 \\ z = -1 \end{cases} \).  

page80

Đáp án:

Thay tọa độ của \( A \) và \( B \) vào vế trái của phương trình mặt phẳng \( P \): Kết quả thu được 2 giá trị cùng dấu \( \Rightarrow A, B \) nằm về cùng một phía đối với \( P \).  

Gọi \( A' \) là điểm đối xứng của \( A \) qua mặt phẳng \( P\). Đường thẳng \( A'B \) cắt mặt phẳng \( P \) tại \( M \). \( M \) là điểm cần tìm.  

Tìm tọa độ \( A' \):

- Đường thẳng \( \Delta \) qua \( A(1, -1, 2) \) và vuông góc với mặt phẳng \( P \): \(\Delta: \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{1} \).

- Giao điểm \( I \) của \( \Delta \) và mặt phẳng \( P \):  
\( \begin{cases} x - y = 2 \\ x - z = -1 \\ x + y + z = 5 \end{cases} \Leftrightarrow I(2, 0, 3) \).

- \( I(2, 0, 3) \Rightarrow A'(3, 1, 4) \).

- Phương trình đường thẳng \( A'B \): \( \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 4}{-5} \).

- Giao điểm \( M \) của \( A'B \) và mặt phẳng \( P \):  
\( \begin{cases} x - y = 2 \\ -5x - z = -19 \\ x + y + z = 5 \end{cases} \Rightarrow M(4, 2, -1) \Rightarrow \boxed{C}\).

page81