Đáp án:

\( S = 2(\vec{MI} +\vec{IA})^2 + ( \vec{MI} + \vec{IB})^2 + (\vec{MI} + \vec{IC})^2 \)

\(= 4\vec{MI}^2 + 2\vec{IA}^2 + \vec{IB}^2 + \vec{IC}^2 + 2\vec{MI}(2\vec{IA} + \vec{IB} + \vec{IC})\)

Tìm điểm \( I \) sao cho:\( 2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} \).

\( 2(x_A - x_I) + x_B - x_I + x_C - x_I = 0 \)

\( \Leftrightarrow\begin{cases} x_I = \frac{2x_A + x_B + x_C}{4} =0 \\ y_I = \frac{2y_A + y_B + y_C}{4} = \frac{3}{4} \\ z_I = \frac{2z_A + z_B + z_C}{4} = \frac{5}{4} \end{cases} \Leftrightarrow I \left( 0, \frac{3}{4}, \frac{5}{4} \right) \)

S nhỏ nhất \( \iff MI \) nhỏ nhất \( \iff M \) là hình chiếu vuông góc của \( I \) xuống mặt phẳng \( P \).

\(\Leftrightarrow\) M là giao điểm của mặt phẳng P với đường thẳng \(\Delta\) qua \( I \) vuông góc với \( P \):

\( x = t, \quad y = \frac{3}{4} - t, \quad z = \frac{5}{4} + t \).

\( t - \left(\frac{3}{4} -t \right)+ \frac{5}{4}+t  + 1 = 0 \Leftrightarrow 3t = -\frac{3}{2} \Leftrightarrow t = -\frac{1}{2} \).

\( \Leftrightarrow M \left( -\frac{1}{2}, \frac{5}{4}, \frac{3}{4} \right) \).

\( a + b + c = -\frac{1}{2} + \frac{5}{4} + \frac{9}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow \boxed{B}\).

page83

Đáp án:

Gọi \( B(a, b, c) \)

\( M(1, 2, 3)\) trung điểm \(BC \Leftrightarrow C(2-a, 4-b, 6-c) \).

\( \begin{cases} B \in (P)  \\ C \in (Q) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}  a + b - 2c + 1 = 0 (1) \\ -a + 2b + c - 8 = 0 (2) \end{cases} \)

\( \overrightarrow{AM} = (-1, -2,-1), \overrightarrow{BC} = (2-2a, 4-2b, 6-2c) \).  
\( \Delta ABC \) cân tại \( A \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \Leftrightarrow a + 2b + c - 8 = 0 (3) \).

Từ \( (1), (2), (3) \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ b=3 \\ c =2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} B(0, 3, 2) \\ C(2, 1, 4) \end{cases}\)  

\( \Delta: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1} \Rightarrow \boxed{D}\).  

page84

Đáp án:

- Hạ \( MK \perp d \) \(\Rightarrow\) \( K \) cố định.  
- Hạ \( MH \perp \text{mp } P \):  \( MH \leq MK \).

\( d(M, (CD)) \) lớn nhất \( \iff H \equiv K \).  
\( \Leftrightarrow \text{mp } (P) \perp MK \) tại K

Tìm \( K \): \( K \) là giao điểm của đường thẳng \( d \) với mặt phẳng Q qua \( M(2,1,1) \perp d \Rightarrow Q: 2x + y - z - 4 = 0 \).  
\( 2(1 + 2t) + t - (-2 - t) - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 0\Leftrightarrow K(1, 0, -2). \)

 \(mpP \perp MK= (-1, -1, -3)\) tại \( K(1, 0, -2). \)  

Phương trình mặt phẳng:  \( x + y + 3z + 5 = 0 \Rightarrow \boxed{D} \)

page85

Đáp án:
- Mặt phẳng qua \( A(1, 0, -2) \) \(\parallel \Delta \) \(\implies\) mặt phẳng P chứa đường thẳng \( d \) qua \( A(1, 0, -2) \) \(\parallel \Delta \).  
Phương trình \( d: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{-1} \).  

Bài toán trở thành: Viết phương trình mặt phẳng \(  \) chứa đường thẳng \( d \) và cách \( M(2, 1, 1) \) một khoảng lớn nhất.  

Đáp án: \( x + y + 3z + 5 = 0 \).

page86