Đáp án:

- Mặt phẳng qua \( A(1, 0, -2) \) \(\perp\) mặt phẳng \( Q \) \(\implies\) mặt phẳng \( P \) chứa đường thẳng \( \Delta \) qua \( A(1, 0, -2) \) và \(\Delta \perp\) mặt phẳng \( Q \).  
Phương trình \( \Delta: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{-1} \).

Bài toán trở thành: Viết phương trình mặt phẳng \( P \) chứa đường thẳng \( \Delta \) và cách điểm \( M(2, 1, 1) \) một khoảng lớn nhất.

Đáp số:\( x + y + 3z + 5 = 0 \).

page87

Đáp án:

- Mặt phẳng \( P: (x-2y-1)+a(x+2z+3) = 0 \).  
Mặt phẳng chứa đường thẳng \( \Delta \):  
\(\begin{cases}
x - 2y - 1 = 0(R) \\
x + 2z + 3 = 0(S)
\end{cases}\)

\( \vec{u_\Delta} = \left[ \begin{split} &\overrightarrow{n_R} = (1,-2,0) \\ &\overrightarrow{n_S} = (1, 0, 2) \end{split} \right] \)

- Đường thẳng \( \Delta \) qua \( x = 1, y = 0, z = -2 \):  
\( \Delta: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{-1} \) (xem bài trước)

Khoảng cách \( d(M, (P)) \) lớn nhất là \( MK \), với \( K(1, 0, -2) \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) xuống đường thẳng \( \Delta \):  
\( MK = \sqrt{1 + 4 + 6} = \sqrt{11} \Rightarrow \boxed{A} \).

Bài tập: Tìm \( a \) để \( d(M, (CD)) \) lớn nhất:  

Đáp án:

Phương trình mặt phẳng \( P: x + y + 3z + 5 = 0 \).

\( \frac{1 + a}{1} = \frac{-2}{1} = \frac{2a}{3} = \frac{-1 + 3a}{5} \Rightarrow a = -3 \).

page88

Đáp án:

\( A(1+a, -1+2a, 1+a) \in d_1 \)

\( B(-1+2b, 2+b, b) \in d_2 \).

- \( \overrightarrow{AB} = (-a+2b-2, -2a+b+3, -a+b-1) \parallel (P)\).

- \( \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{n_P} = (1, 1, 1) \):  
\( \Leftrightarrow -a + 2b - 2 - 2a + b + 3 - a + b - 1 = 0 \Leftrightarrow -4a + 4b = 0 \Leftrightarrow a = b \).

\( \overrightarrow{AB} = (a-2, -a+3, -1) \).

- \( AB = \sqrt{(a-2)^2 + (3-a)^2 + 1} = \sqrt{2a^2 - 10a + 14} \).

Min \( AB = \frac{\sqrt{6}}{2}, a = \frac{5}{2}  \Rightarrow \boxed{B}\).

page89

Đáp án:

Gọi \( H(x, y, z) \).  

- \( \overrightarrow{AH} = (x, y, z - 2) \perp \overrightarrow{BC} = (2, -1, -1) \Rightarrow 2x -y - z +2 =0\)  

- \( \overrightarrow{BH} = (x - 1, y, z - 1) \perp \overrightarrow{AC} = (3, -1, -2) \Rightarrow 3x - y - 2z -1 = 0\)  

- \( \overrightarrow{CH} = (x - 3, y + 1, z) \perp \overrightarrow{AB} = (1, 0, -1) \Rightarrow x -z-3 = 0 \)  

- Tất cả các điểm \( M \in \Delta \) đều thỏa cả 3 phương trình trên.
- Thay phương trình thứ ba bởi phương trình mặt phẳng \(  ABC \).

Ôn: Bấm phương trình mặt phẳng \(  ABC \):
Bấm ra: \( x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}, z = \frac{1}{2} \)

\( \Rightarrow \text{Phương trình mặt phẳng } (ABC): x + y + z = 2 \)

\( \begin{cases} 2x - y - z = -2 \\ 3x - y - 2z = 1 \\ x + y + z = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = 5 \\ z = -3 \end{cases} \Rightarrow \boxed{D} \)

page90

Đáp án:

Mặt phẳng trung trực của \( AB \) qua \( H(2, 3, 0) \), vuông góc với \( \overrightarrow{AB} = (2, 2, 2) \):  
\( x + y + z - 5 = 0 \)

Mặt phẳng trung trực của \( AC \) qua \( K(0, 2, 1) \), vuông góc với \( \overrightarrow{AC} = (-2, 0, 4) \):  
\( - x + 2z - 2 = 0 \)

Phương trình mặt phẳng \(\Delta ABC\):  \( -2x + 3y - z - 5 = 0 \)

\( \begin{cases} x + y + z = 5 \\ - x + 2z = 2 \\ -2x + 3y - z = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{6}{7} \\ y = \frac{19}{7} \\ z = \frac{10}{7} \end{cases} \Rightarrow \boxed{C}. \)

page91