Đáp án:

- \( A(a, 0, 0) \in d_1 \), \( B(1, b, 0) \in d_2 \), \( C(1, 0, c) \in d_3 \).  

\( \overrightarrow{AB} = (1 - a, b, 0), \quad \overrightarrow{BC} = (0, -b, c), \quad \overrightarrow{CH} = (2, 2, 1-c), \quad \overrightarrow{AH} = (3 - a, 2, 1). \)

H là trực tâm \( \Delta ABC \Leftrightarrow  \begin{cases} H \in \Delta ABC \\ \overrightarrow{CH} \perp \overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC} \end{cases} \)  

\( \Leftrightarrow \begin{cases} [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}] \cdot \overrightarrow{CH} = 0 \\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CH} = 0 \\ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AH} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2bc + 2c(a - 1) + (1 - c)b(a - 1) = 0 \\ a = b+1 \\ c = 2b \end{cases}\)

\( \Leftrightarrow \begin{cases} 9b^2 - 2b^3 = 0 \\ a= b+1 \\ c= 2b  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b = 0, \, c = 0, \, a = 1 :  A \equiv B (\vec{AB} = 0): \text{loại}  \\ b = \frac{9}{2}, \, a = \frac{11}{2}, \, c = 9 \end{cases} \) 

\( A \left(\frac{11}{2}, 0, 0\right), \, B \left(1, \frac{9}{2}, 0\right), \, C(1, 0, 9). \)

Phương trình mặt phẳng \( \Delta ABC \):  \( 2x + 2y + z - 11 = 0 \Rightarrow \boxed{A}\)

page92

Đáp án:

\( \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3 \) cùng qua điểm \( I(2, 1, 1) \).  
\( \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3 \) đôi một vuông góc với nhau (vì \( \Delta_1 \parallel Ox, \Delta_2 \parallel Oy, \Delta_3 \parallel Oz \)).  

Mặt phẳng \( P \) qua \( H(3, 5, 4) \), theo yêu cầu:  
\( P \ni H(3, 5, 4) \quad \text{và} \quad \overrightarrow{IH} = (1, 4, 3). \)

Phương trình mặt phẳng:  \( x + 4y + 3z - 35 = 0 \Rightarrow  \boxed{B}. \)

page93

Đáp án:

\( N \in \Delta_1 \): \( N(2 - n, n, 1 + n) \).  
\( D \in \Delta_2 \): \( D(2p, -1 + p, -6 - p) \).  

M,N,D thẳng hàng \(\Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{MN} = (1 - n, n - 1, n + 3) \\ \overrightarrow{MD} = (2p - 1, p - 2, -4 - p) \end{cases} \)  
\(\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1 - n}{2p - 1} = \frac{n - 1}{p - 2} \\ \frac{n - 1}{p - 2} = \frac{n + 3}{-4 - p} \end{cases} \Leftrightarrow  p = 1, \quad n = 2 \Rightarrow N(0, 2, 3), \quad D(2, 0, -7) \)

\(\Rightarrow I = (1, 1, -2) \Rightarrow \boxed{B}. \)

page94

Đáp án:

Đường thẳng \( d \) qua \( M(2, 1, 0) \), với \( \overrightarrow{u_d} = (1, 2, -1) \).  

\( \begin{cases} \overrightarrow{AB} \perp d \\ \overrightarrow{AB} \perp Oy \end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{u_{AB}} = [\overrightarrow{u_d}, \overrightarrow{k}]  = (2, -1, 0). \)  

\( \overrightarrow{n_P} = [\overrightarrow{u_d}, \overrightarrow{u_{AB}}] = (1, 2, 5). \)  

Phương trình mặt phẳng \( P \):  \( x + 2y + 5z - 4 = 0 \Rightarrow \boxed{C}. \)

page95

Đáp án:

- Hạ \( AH \perp \text{mp}(P) \).  
- \( d(A, \text{mp}(P)) = AH \leq AB \).  
- \( \text{mp}(P) \perp \overrightarrow{AB} = (1, -2, 1) \), đi qua \( B(2, -1, 3) \).  

Phương trình mặt phẳng \( P \):  \( x - 2y + z - 7 = 0 \Rightarrow \boxed{C}. \)

page96