Phương trình đường thẳng

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Phương trình đường thẳng - Bài tập phần 2

Bài tập: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M(-1, 1, 3)\) và 2 đường thẳng: \(\Delta: \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1}, \quad \Delta': \frac{x + 1}{1} = \frac{y }{3} = \frac{z}{-2}.\) Đường thẳng nào dưới đây là phương trình tham số của đường thẳng qua \(M\) vuông góc với \(\Delta\) và \(\Delta'\)?

\(A. \begin{cases} x = -1 - t \\ y = 1 + t \\ z = 4 + 3t \end{cases} \quad B. \begin{cases} x = -1 - t \\ y = 1 + 4t \\ z = 3 - t \end{cases} \quad C. \begin{cases} x = -1 - t \\ y = 1 - t \\ z = 3 + t \end{cases} \quad D. \begin{cases} x = -1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \end{cases} \)

**(C2017, câu 34)**

Đáp án:

\(\begin{aligned} \vec{u}_\Delta = (3, 2, 1) \\ \vec{u}_\Delta' = (1, -3, -2) \end{aligned} \Rightarrow \vec{u}_d = [\vec{u}_\Delta, \vec{u}_\Delta'] = (-7, 7, 7) \parallel (-1, 1, 1)\).

\(\Rightarrow\) Loại ngay A và C.
- Điểm \(M(-1, 1, 3)\) thuộc \(D\) \(\Rightarrow\) Chọn \(\boxed{D}\).

page7

Bài tập: Cho điểm \(A(1, -2, 3)\) và 2 mặt phẳng: \((P): x + y + z + 1 = 0, \quad (Q): x - y + z - 2 = 0.\) Đường thẳng nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng qua \(A\) song song với mặt phẳng \(P\) và mặt phẳng \(Q\)?

\(A. \begin{cases} x = 1 - 4t \\ y = 2 \\ z = -3t \end{cases} \quad B. \begin{cases} x = 1 \\ y = -2 \\ z = 3 - 2t \end{cases} \quad C. \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 \\ z = 3 + 2t \end{cases} \quad D. \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -2 \\ z = 3 + t \end{cases} \)

**(C2017, câu 34)**

Đáp án:

\(\begin{aligned} \vec{u}_\Delta \perp \vec{n}_P = (1, 1, 1) \\ \vec{u}_\Delta \perp \vec{n}_Q = (1, -1, 3) \end{aligned} \Rightarrow \vec{u}_\Delta = [\vec{n}_P, \vec{n}_Q] = (2, 0, -2) \parallel (1, 0, -1) \Rightarrow\) Loại \(B\) và \(C\).
Điểm \(A(1, -2, 3)\) thuộc \(D\).
\(\Rightarrow\) Chọn \(\boxed{D}\).

page8

Bài tập: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A(1, 2, 3)\) và đường thẳng \(d: \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 7}{-2}\). Phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(A\), vuông góc với \(d\) và cắt \(d\) có phương trình là:

\(A. \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 3t \end{cases} \quad B. \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + 2t \end{cases} \quad C. \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = -2t \\ z = t \end{cases} \quad D. \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + 3t \end{cases} \)

**(Đề thi TNPT 2018 câu 33, mã 101)**

Đáp án:

- Gọi \(\Delta\) là đường thẳng cần tìm.
- \(\Delta \cap Ox = \{B\}, \, B(b, 0, 0)\).
- \(\overrightarrow{AB} = (b - 1, -2, -3) \perp \vec{u}_d = (2, -1, 2)\).
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \vec{u}_d = 0 \Rightarrow 2(b - 1) - 2 + 6 = 0 \Rightarrow b = -1.\)
\(\Delta\) qua \(A, B\) và \(\overrightarrow{AB} = (-2, -2, -3)\).

Phương trình tham số của \(\Delta\) là:
\(\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 3t \end{cases}\)

\(\Rightarrow\) Chọn \(\boxed{A}\).

page9

3) Chú ý: Nếu đường thẳng \(d\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng:
\(\text{mp } P: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 \quad \text{có } \vec{n}_P = (a_1, b_1, c_1),\)
\(\text{mp } Q: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \quad \text{có } \vec{n}_Q = (a_2, b_2, c_2),\) thì đường thẳng \(d\) có vector chỉ phương là \(\vec{u} = [\vec{n}_P, \vec{n}_Q]\).

Bài tập: Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng:
\(\text{mp } P: x + y - z = 0,\)
\(\text{mp } Q: 2x - y + 2z + 3 = 0.\)

\(A. \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{-4} = \frac{z - 2}{-3} \quad B. \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{-4} = \frac{z}{-3}\quad C. \frac{x + 2}{-1} = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{2}\quad D. \frac{x}{2} = \frac{y + 7}{4} = \frac{z - 2}{-3}\)

Đáp án:

Cách 1: \(\begin{aligned} \vec{n}_P = (1, 1, -1) \\ \vec{n}_Q = (2, -1, 2) \end{aligned} \Rightarrow \vec{u}_d = [\vec{n}_P, \vec{n}_Q] = (1, -4, -3).\)

Mặt phẳng P qua \(A(-1, 1, 0)\)

Phương trình tham số của \(d\): \(\begin{cases} x = -1 + t \\ y = 1 - 4t \\ z = -3t \end{cases} \Rightarrow \boxed{B}\)

Cách 2: Đường thẳng \(d\) qua 2 điểm \(A(-1, 1, 0)\), \(B(0, -3, -3)\).
\(d\) qua \(A(-1,1,0)\) có vector chỉ phương \(\vec{AB} = (1, -4, -3)\) .

Cách 3: Viết: \(\begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 2z + 3 = 0 \end{cases}.\)

Chọn \(z = t \Rightarrow \begin{cases} x = -1 - \frac{t}{3} \\ y = 1 + \frac{4t}{3} \\ z = t \end{cases}.\)

(Có thể chọn \(x = t\) hoặc \(y = t\) thay thế.)

page10

Bài tập: Tìm giao điểm \(M\) của đường thẳng \(\Delta\): \(\begin{cases} x = 12 + 4t \\ y = 9 + 3t \\ z = 1 + t \end{cases}\) với mặt phẳng \(P: x + y + z + 2 = 0\).

\(A. M(-1, 3, -4) \quad B. M(4, -2, -4) \quad C. M(-3, 1, 0) \quad D. M(0, 0, -2)\)

Đáp án:

\(\begin{cases} x = 12 + 4t \\ y = 9 + 3t \\ z = 1 + t \\ x + y + z + 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow (12 + 4t) + (9 + 3t) + (1 + t) + 2 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} t = -3 \\ x = 0 \\ y = 0 \\ z = -2 \end{cases} \Rightarrow M(0, 0, -2).\)

\(\Rightarrow \boxed{D}\)

*Bấm máy tính!

\(12 + 4x + 9 + 3x + 1 + x + 2 = 0 \rightarrow \) Sử dụng \textbf{Shift → Solve})
Kết quả: \(x = -3\) \(\Rightarrow M(0, 0, -2).\)

\(\boxed{H}\):Bấm nhanh với
\(\Delta: \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 1 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}\), mặt phẳng \(D: x - 2y - 2z + 5 = 0.\)

\(t = 2 \Rightarrow \begin{cases} x = 7 \\ y = -1 \\ z = 7 \end{cases} \Rightarrow M(7, -1, 7).\)

page11