Đáp án:

- Hạ \( AB \perp d \) (B cố định  
- Hạ \( BH \perp \text{mp}(P) \), với \( BH \leq AB \).  

\( d(d,(P) \) lớn nhất \( \Leftrightarrow H \equiv A \).  
\(\text{mp}(P) \perp \overrightarrow{AB} \) tại \( A \).  

Tìm \( B \):
B là giao điểm của đường thẳng \( d \) và mặt phẳng \( \alpha \) qua \( A(1, -1, 2) \Rightarrow \text{mp}(\alpha): x - 2y + z - 5 = 0\).  
\( (2 + t) - 2(-2t) + (3 + t) - 5 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad t = 0. \)

\(\Leftrightarrow B(2, 0, 3). \)

Mặt phẳng \( P \perp \overrightarrow{AB} = (1, 1, 1), \text{ tại } A(1, -1, 2). \)

Phương trình mặt phẳng \( P \):  \( x + y + z - 2 = 0 \Rightarrow  \boxed{D}. \)

page97

Đáp án:

- \( \Delta \) qua \( M \) và \( \Delta \perp d \):  
  \(\Rightarrow \Delta \subset \text{mp}(P)  \text{ qua M với mp}(P) \perp d. \)  
  \(\Rightarrow \text{mp}(P): 2x + 2y - z + 9 = 0. \)  

- Hạ \( AH \perp \text{P}, AK \perp \Delta \) 
  \( d(A, \Delta) = AK \geq AH. \)  
  \( d(A, \Delta) \) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow K equiv H \)  

- Tìm \( H \Rightarrow H(-3, -2, -1). \)  

- \( \overrightarrow{u_\Delta} = \overrightarrow{HM} = (1, 0, 2) \Rightarrow \boxed{A}. \)

page98

Đáp án:

- Hạ \( AH \perp \text{mp}(P) \) (H cố định)
- Hạ \( AK \perp \Delta \), với \(  AK \geq AH \).  
- \( d(A, \Delta) \) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow K \equiv H \Leftrightarrow \Delta \text{ qua } B, H \).  

Tìm \( H \):  \( H \) là giao điểm của \( \text{mp}(P) \) và đường thẳng đi qua \( A(1, -2, 1) \), vuông góc với \( \text{mp}(P) \):  \(\overrightarrow{u_d}= \overrightarrow{n_P} = (1, 3, -2). \)  
\( (1 + t) + 3(-2 + 3t) - 2(1 - 2t) - 7 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad t = 1. \)  
\(\Leftrightarrow H(2, 1, -1). \)  

\( \overrightarrow{u_\Delta} = \overrightarrow{BH} = (1, -1, -1) \Rightarrow \boxed{A}. \)

page99

Đáp án:

- Hạ \( AH \perp \Delta \), (\( B \) cố định.)  
- Hạ \( AH \perp \text{mp}(P) \).  
- \( d(A, \text{mp}(P)) = AH \leq AB. \)  
- \( d(A, \text{mp}(P)) \) lớn nhất \( \Leftrightarrow H \equiv B \Leftrightarrow mp(P) \perp AB \text{ tại } B  \)  

\( B(2 + t, 3 - 3t, 2t) \in \Delta \).  
\( \overrightarrow{AB} = (1 + t, 1 - 3t, 1+ 2t) \perp \overrightarrow{u_\Delta} = (1, -3, 2). \)  
\( \Leftrightarrow 1 + t - 3 + 9t + 2 + 4t) = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 0 \Leftrightarrow B(2, 3, 0). \)  

\( \text{mp}(P) \perp \overrightarrow{AB} = (1, 1, 1), \text{ tại } B(2, 3, 0). \)  
Phương trình:  \( x + y + z - 5 = 0 \Rightarrow \boxed{A}. \)

page100

Đáp án:

Giả sử \( \text{mp}(P) \cap \text{mp}(Q) = \Delta \).  
- Hạ \( AH \perp \text{mp}(P) \) (\( H \) cố định).  
- Hạ \( HK \perp \Delta \).  

Góc \( \alpha \) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \tan \alpha = \frac{AH}{HK}, \quad \text{nhỏ nhất}\)

\(\Leftrightarrow HK \text{ lớn nhất} \Leftrightarrow K \equiv I \)  
\( \Leftrightarrow \Delta \perp HI \quad \Leftrightarrow \quad \Delta \perp \overrightarrow{AB}. \)  

\(\begin{cases} \Delta \perp \overrightarrow{AB} \\ \Delta \perp \overrightarrow{n_P} \end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{u_\Delta} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{n_P}]. \)

\( \overrightarrow{n_Q} = [\overrightarrow{u_\Delta}, \overrightarrow{AB}] = [[\overrightarrow{n_P}, \overrightarrow{AB}], \overrightarrow{AB}]. \)

page101