Đáp án:

- \( d \cap mp \, D = A \)  
- Lấy \( I \in d \), hạ \( IH \perp mp \, \alpha \)  
- \( mp \, \alpha \cap mp(P) = \Delta \)  
- Hạ \( HK \perp \Delta \)  
- \( \text{Góc } (\text{mp } P, \text{mp } \alpha) = \angle IKH \)

\( 0^\circ < \varphi \leq 90^\circ \)  \( \sin \varphi = \frac{IH}{IK} \geq \frac{IH}{IA} \)  

\( \varphi \) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \sin \varphi \) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow K \equiv A \)  
\( \Leftrightarrow HI \perp \Delta  \Leftrightarrow \Delta \perp d \).  

\( \begin{cases} \vec{u}_\Delta \perp \vec{u}_d = (2, 1, 1) \\ \vec{u}_\Delta \perp \vec{n_P} = (1, 2, -1) \end{cases} \Rightarrow \vec{u}_\Delta = [\vec{u}_d, \vec{u}_{P}] = (-3, 3, 3) \parallel (-1, 1, 1). \)

\( \begin{cases} \vec{n}_\alpha \perp \vec{u_d} = (2, 1, 1) \\ \vec{n}_\alpha \perp \vec{u}_\Delta = (-1, 1, 1) \end{cases} \Rightarrow \vec{n}_\alpha = [\vec{u}_d, \vec{u}_\Delta] = (0, -3, 3) \parallel (0, 1, -1). \)

Mặt phẳng \( \alpha \) qua \( A( -1, -1, 3 ) \perp \vec{n}_\alpha = (0, 1, -1) \)  
\( \Rightarrow \text{pt mp } \alpha: y - z + 4 = 0 \Rightarrow \boxed{D} \)

page102

Đáp án:

Mặt phẳng \( Q \) qua \( A, B \) và chứa đường thẳng \( \Delta \) với:  
\( \vec{u}_{\Delta} = \left[ \begin{split} \overrightarrow{AB} = (-1,  2, 1) \\ \vec{n}_P = (2, -1, -2) \end{split} \right] = (-3, 0, -3) \)

\( \vec{n}_Q = \left[ \begin{split} &\vec{u}_{\Delta} = (-3,0,-3) \\ &\vec{AB} = (-1,2,1) \end{split} \right] = (6, 6, -6) \parallel (1, 1, -1) \)

\( \cos \alpha = \left| \cos(\vec{n_P}, \vec{n_Q}) \right|= \left|\frac{\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q}{|\vec{n}_P| \cdot |\vec{n}_Q|}\right| \)

\( = \frac{|2-1+2|}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \boxed{D}\)

page103

Đáp án:

\( \begin{cases} d \text{ qua } A  \\ d \perp \Delta  \end{cases} \implies d \subset \text{mp } (P) \text{ qua } A, \text{mp } (P) \perp \Delta. \)

\( d (\Delta, d) = d (H, d) = HE \leq HA. \) 

\( d (\Delta, d) \text{ nhỏ nhất } \iff E \equiv A \implies d \perp \text{mp } (A, \Delta) \text{ tại } A. \) 

\( d \text{ qua } B(1, -2, 0) \text{ và } \vec{u}_\Delta = (2, 1, -2), \vec{AB} = (0, -4, -3) \)  

\(\Rightarrow \vec{u}_d =[\overrightarrow{u_\Delta}, \overrightarrow{AB}] = (-11, 6, -8) \) 

\( \Rightarrow d: 
\begin{cases}
x = 1 - 11t \\
y = 2 + 6t \\
z = 3 - 8t
\end{cases} \Rightarrow \boxed{A}\)

page104

Đáp án:
Giả sử \( B(a, b, c) \): \( M(1,2,3) \) là trung điểm \( BC  \Rightarrow C(2-a, 4-b, 6-c) \).  
\( B \in (P) \Leftrightarrow a + b - 2c + 1 = 0 \).  
\( C \in (Q) \Leftrightarrow -a + 2b + c - 8 = 0 \).  
 \( \Delta ABC \) cân tại \( A \Leftrightarrow \vec{MA} = (1, 2, 1) \perp \vec{BC} = (2-2a, 4-2b, 6-2c) \).  
 \(\Leftrightarrow 2- 2a + 8 - 4b + 6 - 2c = 0 \Leftrightarrow a + 2b + c - 8 = 0 \).  

Tóm lại: \( \begin{cases} a + b - 2c = -1 \\ -a + 2b + c = 8 \\ a + 2b + c = -8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 0 \\ b = 3 \\ c = 2 \end{cases} \).  
\( \Rightarrow \begin{cases} B(0,3,2)  \\  C(2,1,4)  \end{cases} \Rightarrow \vec{BC}=(2,-2,2) \| (1,-1,1)  \Rightarrow \boxed{D} \).

page105

Đáp án:

Dựa vào hình vẽ, ta có khoảng cách từ \( A \) đến đường thẳng \( d \) nhỏ nhất khi \( d \) qua điểm \( B(0,3,0) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (0,0,1) \). Do đó, đường thẳng \( d \) có phương trình:  

\( \begin{cases} x = 0 \\ y = 3 \\ z = t \end{cases} \)

Điểm \( N(0,3,-5) \in d \). Chọn \( \boxed{C} \).

page106