Đáp án:

Vì \( (P) \parallel (Q) \) nên cạnh của hình lập phương:  
\( a = d((P), (Q)) = d(A(0,0,1), (Q))  = \frac{7}{6}\)  

\(\Rightarrow V = a^3 = \frac{343}{216} \Rightarrow \boxed{C} \).

page107

Đáp án:

- \( A, B \) nằm cùng một phía đối với mặt phẳng \( P \).

- \( \overrightarrow{AB} = (1, -1, 2) \perp \overrightarrow{n}_P = (3, 1, -1)  \Rightarrow AB \parallel \text{mp } P \).

- \( S_{\Delta MAB} = \frac{1}{2} AB \cdot d(M, AB) \) nhỏ nhất 
  \( \Leftrightarrow d(M, AB) \) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M \in \Delta = (P) \cap (Q) \), với
  \( (Q) \) là mặt phẳng chứa \( AB \) và \( (Q) \perp (P) \).

- \( \vec{n}_Q = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{n}_P] = (-1, 7, 4) \).

mp\( (Q): x - 7y - 4z + 7 = 0 \).

\( \Delta: \begin{cases} x - 7y - 4z + 7 = 0 \\ 3x + y - z + 5 = 0 \end{cases} \).

\( x = 0 \Rightarrow y = -\frac{13}{11},  z = \frac{42}{11} \).

\( S = -\frac{13}{11} + \frac{42}{11} = \frac{29}{11} \Rightarrow \boxed{B}\).

page108

Đáp án:

- Mặt phẳng (P) qua \( A(a, 0, 0) \), \( B(0, b, 0) \), \( C(0, 0, c) \), với \( a, b, c > 0 \).

- Phương trình mặt phẳng (P): \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \).

- (P) qua \( M(1, 4, 9) \) \( \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1 \).

Nhắc: \( |ax +by +cz| \leq \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2) \cdot \left( x^2 + y^2 + z^2 \right)} \).  
Dấu “=” xảy ra khi \( \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} \).

\( (a^2 + b^2 + c^2) \cdot \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \geq (ax +by +cz)^2\)

\( a + b + c = (a + b + c) \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} \right) \), với: 
\( = \left( (\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 + (\sqrt{c})^2 \right) \cdot \left( \left( \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{a}} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{b}} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{c}} \right)^2 \right) \).

\( \geq (4 + 2 + 3)^2 = 36 \).

Dấu “=” xảy ra khi \( \begin{cases} a = 2b = 3c \\ \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} =1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 6 \\ b = 12 \\ c = 18 \end{cases} \).

Phương trình mặt phẳng: \( \frac{x}{6} + \frac{y}{12} + \frac{z}{18} = 1 \Leftrightarrow  6x + 3y + 2z - 36 = 0 \).

page109

Đáp án:

\( AD \) cắt \( BC \) tại \( E \), \( AE = 2a, AB = 2a, AS = a \)

\( d(A, (SBC)) = \frac{2a \cdot 2a \cdot a}{\sqrt{16a^4 + 4a^4 + 4a^4}} = \frac{a \sqrt{6}}{3} \Rightarrow \boxed{C} \).

Đáp án:

\( d(SD, BC) = d(BC, (SDI)) = d(B, (SDI)) = d(A, (SDI)) \).

\( = \frac{a \cdot a \cdot a}{\sqrt{a^4 + a^4 + a^4}} = \frac{a \sqrt{3}}{3} \Rightarrow \boxed{A}\).

Cách 2: Xét hệ \(Axyz\): \( E(2a, 0, 0), B(0, 2a, 0), S(0, 0, a) \).

Mặt phẳng \( (SBC): \frac{x}{2a} + \frac{y}{2a} + \frac{z}{a} = 1 \Leftrightarrow x + y + 2z - 2a = 0 \).

\( d(A, (SBC)) = \frac{2a}{\sqrt{6}} = \frac{a \sqrt{6}}{3} \).

\( d(SD, BC) = d(CD, (SBC)) = d(B, (SBI)) = d(A, (SDI)) \).

page110