Đáp án:

- Để ý: \( \Delta_1 \parallel \Delta_2 \).

\( \Delta_1 \) qua \( A(1, -1, 3) \), \( B(3, -2, 4) \)  
\( \Delta_2 \) qua \( C(-3, -2, 1) \)  

Bấm ra: \( x = -\frac{1}{5}, \quad y = 0, \quad z = \frac{2}{5} \)

pt mp (P): \( -\frac{1}{5}x + \frac{2}{5}z = 1 \)

\( \Rightarrow mp (P): -x + 2z - 5 = 0 \Rightarrow \boxed{C} \)

Câu 2: Mp (P) qua \( A(1, -1, 3) \) có vectơ pháp:  
\( \vec{n}_P = \left[ \begin{aligned}\overrightarrow{AC}=(-4, -1, -2) \\ \overrightarrow{u}_{\Delta_1}=(2, -1, 1) \end{aligned} \right] = (-3, 0, 6)  \uparrow (1, 0, 2) \)

mp (P): \( -x + 2z - 5 = 0 \)

page17

Đáp án:

\( \Delta' = \text{mp(P)} \cap \text{mp(Q)} \Rightarrow \vec{u}_{\Delta'} = \left[ \vec{n}_P , \vec{n}_Q \right]. \)  

\( \Delta' = \text{mp(P)} \cap \text{mp(Q)}, \quad \text{với mp(Q) chứa } \Delta \text{ và mp(Q) } \perp \text{mp(P)}. \)

mp(Q) chứa \(\Delta\) và mp(Q) \(\perp\) mp(P):  
\( \Rightarrow \overrightarrow{n_Q} = \left[ \begin{aligned} \overrightarrow{u_P} =(1, 1, 1) \\ \overrightarrow{n_\Delta}=(1, -1, 2) \end{aligned} \right] =  (1, -1, 0) \)

\( \overrightarrow{u_{\Delta'}} = \left[ \begin{aligned} \overrightarrow{n_P}=(1, 1, 1) \\ \overrightarrow{n_Q}=(1, -1, 0) \end{aligned} \right]  = (1, 1, -2) \Rightarrow \boxed{A} \)

\(\Delta'\) qua giao điểm \(A\) của \(\Delta\) và mp(P):  

Bấm: \( -2 + t + 1 + t + 2 + 2t = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{4} \Rightarrow A\left(-\frac{9}{4}, \frac{3}{4}, \frac{3}{2}\right) \)

\(\Delta': \frac{x + \frac{9}{4}}{1} = \frac{y - \frac{3}{4}}{1} = \frac{z - \frac{3}{2}}{-2} \)

page18

(Đề thi TNPT 2021 Câu 45 Mã 100)  

Đáp án:

Gợi ý: 
\(d \cap (P) = \{A\}, A(0; 1; 2)\).  
Lấy \(M(2; 3; 0) \in d\), hình chiếu vuông góc của \(M\) xuống (P) là \(H\left(\frac{4}{3}; \frac{5}{3}; -\frac{2}{3}\right)\).  
- Đường thẳng \(d'\) qua \(A\) và \(H\): \(d': \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{-4} \Rightarrow \boxed{C}\).

page19  

Đáp án: Gợi ý: 
Hình chiếu vuông góc của \(\Delta\) xuống (P) là đường thẳng qua \(M(0; 2; 2)\) và \(H(-1; 2; 0)\).  

\( \overrightarrow{HM} = (1, -4, 2) \)

Vậy: \( MH: \frac{x}{1} = \frac{y + 2}{-4} = \frac{z - 2}{2} \)

page20

4. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng trong không gian  

Cho 2 đường thẳng:  
\( \Delta_1: \begin{cases} x = x_1 + a_1 t \\ y = y_1 + b_1 t \\ z = z_1 + c_1 t \end{cases} \quad 
\Delta_2: \begin{cases} x = x_2 + a_2 t' \\ y = y_2 + b_2 t' \\ z = z_2 + c_2 t' \end{cases} \)  
lần lượt có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u_{\Delta_1}}, \overrightarrow{u_{\Delta_2}} \).  

Xét hệ:  \( \begin{cases} x_1 + a t = x_2 + a_2 t' \\ y_1 + b t = y_2 + b_2 t' \\ z_1 + c t = z_2 + c_2 t' \end{cases} \quad (*) \)  

- Hệ (*) có duy nhất nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta_1 \text{ cắt } \Delta_2 \).  
- Hệ (*) có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta_1 \equiv \Delta_2 \).  

- \( \begin{cases}\text{Hệ (*) vô nghiệm} \\ \overrightarrow{u_{\Delta_1}} \text{ cùng phương } \overrightarrow{u_{\Delta_2}} \end{cases} \Leftrightarrow \Delta_1 \parallel \Delta_2 \).  

- \( \begin{cases}\text{Hệ (*) vô nghiệm} \\ \overrightarrow{u_{\Delta_1}} \text{ không cùng phương } \overrightarrow{u_{\Delta_2}} \end{cases} \Leftrightarrow \Delta_1 \text{ chéo } \Delta_2 \).  

Nếu \(\overrightarrow{u_{\Delta_1}}, \overrightarrow{u_{\Delta_2}}\) cùng phương thì:  
- \(A(x_1, y_1, z_1) \in \Delta_2 \Rightarrow \Delta_1 \equiv \Delta_2\).  
- \(A(x_1, y_1, z_1) \notin \Delta_2 \Rightarrow \Delta_1 \parallel \Delta_2\).  

Chỉ nên xét hệ chỉ \(\overrightarrow{u_{\Delta_1}}, \overrightarrow{u_{\Delta_2}}\) không cùng phương!  

- \(\Delta_1\) qua \(A(x_1, y_1, z_1)\) và \(\overrightarrow{u_{\Delta_1}} = \dots\).  
- \(\Delta_2\) qua \(B(x_2, y_2, z_2)\) và \(\overrightarrow{u_{\Delta_2}} = \dots\).  

Nếu \(\overrightarrow{u_{\Delta_1}}, \overrightarrow{u_{\Delta_2}}\) không cùng phương thì:  
\( \left[\overrightarrow{u_{\Delta_1}}, \overrightarrow{u_{\Delta_2}}\right] \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \Rightarrow \Delta_1 \text{ cắt } \Delta_2. \)  
\( \left[\overrightarrow{u_{\Delta_1}}, \overrightarrow{u_{\Delta_2}}\right] \cdot \overrightarrow{AB} \neq 0 \Rightarrow \Delta_1 \text{ chéo } \Delta_2. \)

page21