Phương trình đường thẳng

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Phương trình đường thẳng - Bài tập phần 5

Bài tập: Cho 2 đường thẳng: \( d_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4}, \quad d_2: \frac{x - 6}{3} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z + 2}{1}. \) Mệnh đề nào sau đây đúng:

\(A. d_1 \equiv d_2 \quad B. d_1 \parallel d_2 \quad C. d_1 \text{ cắt } d_2 \quad D. d_1 \text{ chéo } d_2 \)

Đáp án:

\( \overrightarrow{u_{d_1}} = (2, 1, 4), \quad \overrightarrow{u_{d_2}} = (3, -2, 1) \quad \text{không cùng phương} \Rightarrow \) loại A và B

Tư duy: Giải hệ: \( \begin{cases}
\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4}, \\
\frac{x - 6}{3} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z + 2}{1}.
\end{cases} \)

Cụ thể: \( \begin{cases}
x - 2y = -13 \\ 4x - 2z = -2 \\-2x - 3y = -9 \\ x - 3z= 12 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x = -3 \\ y = 5 \\ z = -5 \\ x - 3z= 12 \end{cases} \)
\(\Rightarrow \begin{cases}x = -3 \\ y = 5 \\ z = -5 \end{cases} \Rightarrow \boxed{C}\).

Cách 2: \( A(1, 7, 3), \quad B(6, -1, -2). \)
\(\left[ \begin{aligned} \overrightarrow{u_{d_1}} = (2, 1, 4) \\ \overrightarrow{u_{d_2}} = (3, -2, 1) \end{aligned} \right] \cdot \overrightarrow{AB} = (5, -8, -5) = (9,10,-7)(5,-8,-5) \)
\( =45-80+35 = 0 \quad \Rightarrow d_1 \text{ cắt } d_2. \)

page22

Bài tập: Cho 2 đường thẳng: \( d_1: \frac{x - 9}{9} = \frac{y - 5}{5} = \frac{z + 4}{-1}, \quad d_2: \begin{cases} x = -9t \\ y = -5t \\ z = -3 + t \end{cases} \) Mệnh đề nào sau đây đúng:

\(A. d_1 \equiv d_2 \quad B. d_1 \parallel d_2 \quad C. d_1 \text{ cắt } d_2 \quad D. d_1 \text{ chéo } d_2 \)

Đáp án:

\( \overrightarrow{u_{d_1}} = (9, 5, -1) \parallel \overrightarrow{u_{d_2}} = (-9, -5, 1). \)

Điểm \(B(0, 0, -3) \in d_2 \Rightarrow B \in d_1\).

Suy ra \(d_1 \equiv d_2 \Rightarrow \boxed{A}\).

page23

Bài tập: Cho 2 đường thẳng:
\( \Delta_1: \begin{cases}
x = 2t \\
y = -2 + 3t \\
z = 4t
\end{cases}, \quad
\Delta_2: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{2}. \) Vị trí tương đối giữa \( \Delta_1 \) và \( \Delta_2 \) là:

\(A. \Delta_1 \equiv \Delta_2 \quad B. \Delta_1 \parallel \Delta_2 \quad C. \Delta_1 \text{ chéo } \Delta_2 \quad D. \Delta_1 \text{ cắt } \Delta_2 \)

Đáp án:

\( \Delta_1 \) qua \( M(0, -2, 0) \), \( \overrightarrow{u_{\Delta_1}} = (2, 3, 4) \).
\( \Delta_2 \) qua \( N(1, 2, 1) \), \( \overrightarrow{u_{\Delta_2}} = (1, 1, 2) \).

\( \left[\overrightarrow{u_{\Delta_1}}, \overrightarrow{u_{\Delta_2}}\right] \cdot \overrightarrow{MN} = (2, 0, -1) \cdot (1, 4, 1) = 2 - 1 \neq 0. \)

\( \Rightarrow \Delta_1 \text{ chéo } \Delta_2 \Rightarrow \boxed{C}\)

Bài tập: Mặt phẳng chứa đường thẳng \( \Delta_1:
\begin{cases}
x = 2t \\
y = -2 + 3t \\
z = 4t
\end{cases}
\) song song với đường thẳng \( \Delta_2: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{2} \) có phương trình:

\(A. 2x - z - 1 = 0 \quad B. 2x + z + 4 = 0 \quad C. 2x - z = 0 \quad D. 2x + z - 3 = 0 \)

\( \left[\overrightarrow{u_{\Delta_1}}, \overrightarrow{u_{\Delta_2}}\right] = (2, 0, -1). \)

Mặt phẳng (P) chứa \( \Delta_1 \Rightarrow \) mp(P) qua \( M(0, -2, 0) \):
\(\Rightarrow \text{pt mp(P): } 2x - z = 0 \Rightarrow \boxed{C} \)

page24

Bài tập: Cho 2 đường thẳng: \( d_1: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z - 3}{1}, \quad d_2: \begin{cases}
x = 1 + kt \\
y = t \\
z = -1 + 2t.
\end{cases} \). Tìm \(k\) để \(d_1\) cắt \(d_2\).

\(A. k = 0 \quad B. k = 1 \quad C. k = -1 \quad D. k = -\frac{1}{2}\)

Đáp án:

\( d_1 \) cắt \( d_2 \Leftrightarrow \) hệ: \( \frac{kt}{1} = \frac{t - 2}{-2} = \frac{2t - 4}{1} \quad \text{có một nghiệm.} \)

\( \begin{cases}
(1 + 2k)t = 2 \\
5t = 10
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
t = 2 \\
k = 0.
\end{cases} \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow \boxed{A} \).

page25

Bài tập: Cho 2 đường thẳng \( d_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{4} \) và \( d_2: \begin{cases}
x = 2 + t \\
y = -1 + at \\
z = -2 + (2a + 1)t
\end{cases}. \) Tìm \(a\) để:

a) \( d_1 \parallel d_2 \)

b) \( d_1 \text{ cắt } d_2 \)

Đáp án:

a) \( d_1 \) qua \( A(1, 2, 3) \) có vectơ \( \overrightarrow{u_{d_1}} = (2, 1, 4) \).
\( d_2 \) qua \( B(2, -1, -2) \), \( \overrightarrow{u_{d_2}} = (1, a, 2a + 1) \).

\( d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow \overrightarrow{u_{d_1}}, \overrightarrow{u_{d_2}} \) cùng phương:
\( \frac{1}{2} = \frac{a}{1} = \frac{2a + 1}{4}. \)

\( \Rightarrow a = \frac{1}{2}. \)

b) \( d_1 \text{ cắt } d_2 \Leftrightarrow \begin{cases}
\overrightarrow{u_{d_1}}, \overrightarrow{u_{d_2}} \text{ không cùng phương} \\
\left[\overrightarrow{u_{d_1}}, \overrightarrow{u_{d_2}}\right] \cdot \overrightarrow{AB} = 0.
\end{cases} \)

\( \overrightarrow{u_{d_1}}, \overrightarrow{u_{d_2}} \) cùng phương \( \Rightarrow a \neq \frac{1}{2}. \)

\( \left[\overrightarrow{u_{d_1}}, \overrightarrow{u_{d_2}}\right] = (-2a + 1, -4a + 2, 2a - 1). \)
\( \overrightarrow{AB} = (1, 3, -5). \)

Tính:
\( \left[\overrightarrow{u_{d_1}}, \overrightarrow{u_{d_2}}\right] \cdot \overrightarrow{AB} = -2a +1+ 12a - 6 - 10a + 5 = 0, \quad \forall a \neq \frac{1}{2}. \)

Vậy \( d_1 \text{ cắt } d_2 \) khi \( \forall a \neq \frac{1}{2}. \)

Suy ra: \(\forall a \in \mathbb{R}, d_1 \) và \( d_2 \) luôn đồng phẳng.

page26