(2017 câu 36)

Đáp án:

• \( d' \parallel d \).  
• \( d \) qua \( A(2, -3, 4) \).  
• \( d' \) qua \( B(4, -1, 0) \).  
• Trung điểm của \( AB \) là \( I(3, -2, 2) \).  
• \( \Delta \) qua \( I(3, -2, 2) \), \( \overrightarrow{u_{\Delta}} = (3, 1, -2) \Rightarrow \boxed{A} \).

page27

Đáp án:

Bấm:  
\( 5(2 + t) - (-3 + t) - 4(1 + t) + 1 = 0. \)  

Shift \( \to \) Solve (từ máy tính) \( \to \) "Can't Solve" (đợi quá lâu).  

\( \Leftrightarrow 10 = 0 \) (vô nghiệm).  

\( \Rightarrow \Delta \parallel \text{mp(P)} \Rightarrow \boxed{B} \)  

page28

Đáp án:

\( \Delta \) qua \(A(0, 1, 1)\), \(B(1, 2, 2)\).  

\( \Delta \subset mpP \Leftrightarrow \begin{cases} 
A \in P \\ 
B \in P 
\end{cases} \Leftrightarrow  
\begin{cases} 
-2 + m + 1 = 0 \\ 
m^2 + 2m - 3 = 0 
\end{cases}\Leftrightarrow m=1 \Rightarrow \boxed{C}\)

Cách 2: 

- \( \Delta \subset \text{mp} P \Leftrightarrow \) phương trình:  \( m^2t - 2(1 + t) + m(1 + t) + 1 = 0 \quad \text{có vô số nghiệm.} \)  

\( \Leftrightarrow (m^2 + m - 2)t = 1 - m \quad \text{có vô số nghiệm.} \)  
\( \Leftrightarrow  \begin{cases} 
m^2 + m - 2 = 0 \\ 
1 - m = 0 
\end{cases}  \Leftrightarrow m = 1. \)  

Đáp án:

\( \Delta \parallel P \Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{u_\Delta} = (1, 1, 1) \perp \overrightarrow{n_P} = (m^2, -2, m) \\ A(0, 1, 1) \notin P \end{cases}. \)  

\( \Leftrightarrow \begin{cases}  m^2 + m - 2 = 0 \\ m - 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}  m = 1 \text{ và } m = -2 \\ m  \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow m =-2 \)  

 \( \Rightarrow \boxed{B} \).

Cách 2:

- \( \Delta \parallel \text{mp} P \Leftrightarrow \) phương trình:  \( (m^2 + m - 2)t = 1 - m \quad \text{vô nghiệm.} \)  
\( \Leftrightarrow  
\begin{cases} 
m^2 + m - 2 = 0 \\ 
1 - m \neq 0 
\end{cases}  
\Leftrightarrow m = -2. \)

page29

6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng  

- Cho điểm \(M(x_0, y_0, z_0)\) và mp(P): \(Ax + By + Cz + D = 0\):  
\( d(M, \text{mpP}) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}. \)  

- Mp(P): \(Ax + By + Cz + D = 0\) chia không gian ra làm 2 miền. Các điểm nằm trong cùng một miền mang giá trị thế vào vế trái của pt mp(P) cho các giá trị có cùng một dấu, hai miền cho 2 dấu khác nhau.  

Ví dụ:  
Mp(P): \(x + y - 2z + 1 = 0\), \(A(0, 0, 1)\), \(B(2, 0, 0)\).  
Hai điểm \(A\) và \(B\) nằm về 2 phía khác nhau của mp(P).  

(2013, Đ)

Đáp án:

\( d(A, \text{mpP}) = \frac{2}{3}. \)  

Mp(Q):  
\( x - 2y - z + 3 = 0. \)

page30

Đáp án:

- Mp(ABC):  \( \frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{-2} = 1 \quad \Leftrightarrow \quad 2x + 2y - z - 2 = 0. \)  

- \( d(S, \text{mp(ABC)}) = \frac{1}{3}. \)

page31